Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) et C(3;1)C\left(3;1\right) .

Calculer les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{AB} .

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées vecteur AB\overrightarrow{AB} sont (xBxAyByA)\left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)
Nous rappelons que A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) et C(3;1)C\left(3;1\right)
Il vient alors que :
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(5192)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-1} \\ {9-2} \end{array}\right) d'où : AB(47)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {7} \end{array}\right)
Question 2

Calculer les coordonnées du vecteur AC\overrightarrow{AC} .

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées vecteur AB\overrightarrow{AB} sont (xBxAyByA)\left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)
Nous rappelons que A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) et C(3;1)C\left(3;1\right)
Il vient alors que : AC(xCxAyCyA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AC(3112)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {3-1} \\ {1-2} \end{array}\right) d'où : AC(21)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)
Question 3

Calculer les coordonnées du vecteur BC\overrightarrow{BC} .

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées vecteur AB\overrightarrow{AB} sont (xBxAyByA)\left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)
Nous rappelons que A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) et C(3;1)C\left(3;1\right)
Il vient alors que : BC(xCxByCyB)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{B}} \\ {y_{C}-y_{B}} \end{array}\right) ainsi BC(3519)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {3-5} \\ {1-9} \end{array}\right) d'où : BC(28)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-8} \end{array}\right)