Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Calculer le déterminant de deux vecteurs - Exercice 1

12 min
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Question 1

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. Soient u→(2;3)\overrightarrow{u} \left(2;3\right) et v→(4;5)\overrightarrow{v} \left(4;5\right) . Calculer det⁡(u→,v→)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Soient deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) . Le deˊterminant\text{\color{red}déterminant} des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est le réel det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Soit :
det⁡(u→,v→)=2×5−4×3\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 5-4\times 3
det⁡(u→,v→)=10−12\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=10-12
det⁡(u→,v→)=−2\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2

Question 2

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. Soient u→(−16)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right) et v→(42)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right) . Calculer det⁡(u→,v→)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Soient deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) . Le deˊterminant\text{\color{red}déterminant} des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est le réel det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Soit :
det⁡(u→,v→)=−1×2−4×6\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-1\times 2-4\times 6
det⁡(u→,v→)=−2−24\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2-24
det⁡(u→,v→)=−26\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-26
Question 3

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. Soient u→(53)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right) et v→(08)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {8} \end{array}\right) . Calculer det⁡(u→,v→)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Soient deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) . Le deˊterminant\text{\color{red}déterminant} des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est le réel det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Soit :
det⁡(u→,v→)=5×8−0×3\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=5\times 8-0\times 3
det⁡(u→,v→)=40−0\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40-0
det⁡(u→,v→)=40\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40
Question 4

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. Soient u→(24)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) et v→(36)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {6} \end{array}\right) . Calculer det⁡(u→,v→)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Soient deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) . Le deˊterminant\text{\color{red}déterminant} des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est le réel det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Soit :
det⁡(u→,v→)=2×6−3×4\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 6-3\times 4
det⁡(u→,v→)=12−12\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=12-12
det⁡(u→,v→)=0\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=0
Question 5

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. Soient u→(x2+x)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2+x} \end{array}\right) et v→(43−2x)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3-2x} \end{array}\right) . Calculer det⁡(u→,v→)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Soient deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) . Le deˊterminant\text{\color{red}déterminant} des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est le réel det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Soit :
det⁡(u→,v→)=x×(3−2x)−4(2+x)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times \left(3-2x\right)-4\left(2+x\right)
det⁡(u→,v→)=x×3+x×(−2x)−(4×2+4×x)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times 3+x\times \left(-2x\right)-\left(4\times 2+4\times x\right)
det⁡(u→,v→)=3x−2x2−(8+4x)\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -\left(8+4x\right)
det⁡(u→,v→)=3x−2x2−8−4x\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -8-4x
det⁡(u→,v→)=−2x2−x−8\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2x^{2} -x-8