Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Calculer le déterminant de deux vecteurs Exercice 1 1
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan. Soient
u → ( 2 ; 3 ) \overrightarrow{u} \left(2;3\right) u ( 2 ; 3 ) et
v → ( 4 ; 5 ) \overrightarrow{v} \left(4;5\right) v ( 4 ; 5 ) . Calculer
det ( u → , v → ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) det ( u , v ) .
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan.
Soient deux vecteurs u → ( x ; y ) \overrightarrow{u} \left(x;y\right) u ( x ; y ) v → ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{v} \left(x';y'\right) v ( x ′ ; y ′ ) d e ˊ terminant \text{\color{red}déterminant} d e ˊ terminant u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v det ( u → , v → ) = x y ′ − x ′ y \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y det ( u , v ) = x y ′ − x ′ y On peut également écrire les vecteurs u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) u ( x y ) v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) Soit :
det ( u → , v → ) = 2 × 5 − 4 × 3 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 5-4\times 3 det ( u , v ) = 2 × 5 − 4 × 3 det ( u → , v → ) = 10 − 12 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=10-12 det ( u , v ) = 1 0 − 1 2 det ( u → , v → ) = − 2 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2 det ( u , v ) = − 2 2
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan. Soient
u → ( − 1 6 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right) u ( − 1 6 ) et
v → ( 4 2 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right) v ( 4 2 ) . Calculer
det ( u → , v → ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) det ( u , v ) .
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan.
Soient deux vecteurs u → ( x ; y ) \overrightarrow{u} \left(x;y\right) u ( x ; y ) v → ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{v} \left(x';y'\right) v ( x ′ ; y ′ ) d e ˊ terminant \text{\color{red}déterminant} d e ˊ terminant u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v det ( u → , v → ) = x y ′ − x ′ y \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y det ( u , v ) = x y ′ − x ′ y On peut également écrire les vecteurs u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) u ( x y ) v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) Soit :
det ( u → , v → ) = − 1 × 2 − 4 × 6 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-1\times 2-4\times 6 det ( u , v ) = − 1 × 2 − 4 × 6 det ( u → , v → ) = − 2 − 24 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2-24 det ( u , v ) = − 2 − 2 4 det ( u → , v → ) = − 26 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-26 det ( u , v ) = − 2 6 3
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan. Soient
u → ( 5 3 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right) u ( 5 3 ) et
v → ( 0 8 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {8} \end{array}\right) v ( 0 8 ) . Calculer
det ( u → , v → ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) det ( u , v ) .
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan.
Soient deux vecteurs u → ( x ; y ) \overrightarrow{u} \left(x;y\right) u ( x ; y ) v → ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{v} \left(x';y'\right) v ( x ′ ; y ′ ) d e ˊ terminant \text{\color{red}déterminant} d e ˊ terminant u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v det ( u → , v → ) = x y ′ − x ′ y \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y det ( u , v ) = x y ′ − x ′ y On peut également écrire les vecteurs u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) u ( x y ) v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) Soit :
det ( u → , v → ) = 5 × 8 − 0 × 3 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=5\times 8-0\times 3 det ( u , v ) = 5 × 8 − 0 × 3 det ( u → , v → ) = 40 − 0 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40-0 det ( u , v ) = 4 0 − 0 det ( u → , v → ) = 40 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40 det ( u , v ) = 4 0 4
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan. Soient
u → ( 2 4 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) u ( 2 4 ) et
v → ( 3 6 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {6} \end{array}\right) v ( 3 6 ) . Calculer
det ( u → , v → ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) det ( u , v ) .
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan.
Soient deux vecteurs u → ( x ; y ) \overrightarrow{u} \left(x;y\right) u ( x ; y ) v → ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{v} \left(x';y'\right) v ( x ′ ; y ′ ) d e ˊ terminant \text{\color{red}déterminant} d e ˊ terminant u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v det ( u → , v → ) = x y ′ − x ′ y \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y det ( u , v ) = x y ′ − x ′ y On peut également écrire les vecteurs u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) u ( x y ) v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) Soit :
det ( u → , v → ) = 2 × 6 − 3 × 4 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 6-3\times 4 det ( u , v ) = 2 × 6 − 3 × 4 det ( u → , v → ) = 12 − 12 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=12-12 det ( u , v ) = 1 2 − 1 2 det ( u → , v → ) = 0 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=0 det ( u , v ) = 0 5
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan. Soient
u → ( x 2 + x ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2+x} \end{array}\right) u ( x 2 + x ) et
v → ( 4 3 − 2 x ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3-2x} \end{array}\right) v ( 4 3 − 2 x ) . Calculer
det ( u → , v → ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right) det ( u , v ) .
Soit
( 0 ; i → ; j → ) \left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan.
Soient deux vecteurs u → ( x ; y ) \overrightarrow{u} \left(x;y\right) u ( x ; y ) v → ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{v} \left(x';y'\right) v ( x ′ ; y ′ ) d e ˊ terminant \text{\color{red}déterminant} d e ˊ terminant u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v det ( u → , v → ) = x y ′ − x ′ y \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y det ( u , v ) = x y ′ − x ′ y On peut également écrire les vecteurs u → \overrightarrow{u} u v → \overrightarrow{v} v u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) u ( x y ) v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) Soit :
det ( u → , v → ) = x × ( 3 − 2 x ) − 4 ( 2 + x ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times \left(3-2x\right)-4\left(2+x\right) det ( u , v ) = x × ( 3 − 2 x ) − 4 ( 2 + x ) det ( u → , v → ) = x × 3 + x × ( − 2 x ) − ( 4 × 2 + 4 × x ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times 3+x\times \left(-2x\right)-\left(4\times 2+4\times x\right) det ( u , v ) = x × 3 + x × ( − 2 x ) − ( 4 × 2 + 4 × x ) det ( u → , v → ) = 3 x − 2 x 2 − ( 8 + 4 x ) \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -\left(8+4x\right) det ( u , v ) = 3 x − 2 x 2 − ( 8 + 4 x ) det ( u → , v → ) = 3 x − 2 x 2 − 8 − 4 x \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -8-4x det ( u , v ) = 3 x − 2 x 2 − 8 − 4 x det ( u → , v → ) = − 2 x 2 − x − 8 \det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2x^{2} -x-8 det ( u , v ) = − 2 x 2 − x − 8