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Savoir résoudre une équation - Exercice 1

30 min
45
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

2x6=02x-6=0

Correction
2x6=02x-6=0 équivaut successivement à :
2x=62x=6
x=62x=\frac{6}{2}
x=3x=3
La solution de l'équation est alors :
S={3}S=\left\{3\right\}
Question 2

3x+4=0-3x+4=0

Correction
3x+4=0-3x+4=0 équivaut successivement à :
3x=4-3x=-4
x=43x=\frac{-4}{-3}
x=43x=\frac{4}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={43}S=\left\{\frac{4}{3}\right\}
Question 3

5x3=15x-3=1

Correction
5x3=15x-3=1 équivaut successivement à :
5x=1+35x=1+3
5x=45x=4
x=45x=\frac{4}{5}
La solution de l'équation est alors :
S={45}S=\left\{\frac{4}{5}\right\}

Question 4

2(x3)=5x+72\left(x-3\right)=5x+7

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
2(x3)=5x+72\left(x-3\right)=5x+7 équivaut successivement à :
2×x+2×(3)=5x+72\times x+2\times \left(-3\right)=5x+7
2x6=5x+72x-6=5x+7
2x5x=7+62x-5x=7+6
3x=13-3x=13
x=133x=\frac{13}{-3}
x=133x=-\frac{13}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={133}S=\left\{-\frac{13}{3}\right\}

Question 5

4(x+5)=2(3x1)4\left(x+5\right)=2\left(3x-1\right)

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
4(x+5)=2(3x1)4\left(x+5\right)=2\left(3x-1\right) équivaut successivement à :
4×x+4×5=2×3x+2×(1)4\times x+4\times 5=2\times 3x+2\times \left(-1\right)
4x+20=6x24x+20=6x-2
4x6x+20=24x-6x+20=-2
2x+20=2-2x+20=-2
2x=220-2x=-2-20
2x=22-2x=-22
x=222x=\frac{-22}{-2}
x=11x=11
La solution de l'équation est alors :
S={11}S=\left\{11\right\}

Question 6

3(5x8)=2(6x7)3\left(5x-8\right)=2\left(6x-7\right)

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
3(5x8)=2(6x7)3\left(5x-8\right)=2\left(6x-7\right)
3×5x+3×(8)=2×6x+2×(7)3\times 5x+3\times \left(-8\right)=2\times 6x+2\times \left(-7\right)
15x24=12x1415x-24=12x-14
15x12x=14+2415x-12x=-14+24
3x=103x=10
x=103x=\frac{10}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={103}S=\left\{\frac{10}{3}\right\}

Question 7

3x24=x+16\frac{3x-2}{4} =\frac{x+1}{6}

Correction
3x24=x+16\frac{3x-2}{4} =\frac{x+1}{6} équivaut successivement à :
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(3x2)×6=4×(x+1)\left(3x-2\right)\times 6=4\times\left(x+1\right)
3x×6+(2)×6=4×x+4×13x\times 6+\left(-2\right)\times 6=4\times x+4\times 1
18x12=4x+418x-12=4x+4
18x4x=4+1218x-4x=4+12
14x=1614x=16
x=1614x=\frac{16}{14}
x=8×27×2x=\frac{8\times2}{7\times2}
x=87x=\frac{8}{7}
La solution de l'équation est alors :
S={87}S=\left\{\frac{8}{7}\right\}

Question 8

(3x+4)(5x10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0

Correction
(3x+4)(5x10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
3x+4=03x+4=0 ou 5x10=05x-10=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 3x+4=03x+4=0 qui donne 3x=43x=-4 . D'où : x=43x=-\frac{4}{3}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 5x10=05x-10=0 qui donne 5x=105x=10 . D'où : x=105=2x=\frac{10}{5}=2
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={43;2}S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\}

    Question 9

    (x+2)(4x7)=0\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0

    Correction
    (x+2)(4x7)=0\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    x+2=0x+2=0 ou 4x7=04x-7=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x+2=0x+2=0 qui donne x=2x=-2 .
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 4x7=04x-7=0 qui donne 4x=74x=7 . D'où : x=74x=\frac{7}{4}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={2;47}S=\left\{-2;\frac{4}{7}\right\}

    Question 10

    (8x7)(2x18)=0\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0

    Correction
    (8x7)(2x18)=0\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    8x7=08x-7=0 ou 2x18=02x-18=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 8x7=08x-7=0 qui donne 8x=78x=7 . D'où : x=78x=\frac{7}{8}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x18=02x-18=0 qui donne 2x=182x=18 . D'où : x=182=9x=\frac{18}{2}=9
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={78;9}S=\left\{\frac{7}{8};9\right\}

    Question 11

    2x32=x3+252x-\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5}

    Correction
    2x32=x3+252x-\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5} . Pour ce genre d'équation, il faut commencer par mettre tous les termes au même dénominateur.
    2x132=x3+25\frac{2x}{1} -\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5} . On remarque qu'un dénominateur commun est 3030.
    2x×301×303×152×15=x×103×10+2×65×6\frac{2x\times 30}{1\times 30} -\frac{3\times 15}{2\times 15} =\frac{x\times 10}{3\times 10} +\frac{2\times 6}{5\times 6}
    60x304530=10x30+1230\frac{60x}{30} -\frac{45}{30} =\frac{10x}{30} +\frac{12}{30} . Ici, toutes les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons garder que les numérateurs pour résoudre cette équation.
    60x45=10x+1260x-45=10x+12
    60x10x=12+4560x-10x=12+45
    50x=5750x=57
    x=5750x=\frac{57}{50}
    La solution de l'équation est alors :
    S={5750}S=\left\{\frac{57}{50}\right\}