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Savoir déterminer si un point appartient à une fonction - Exercice 1

6 min
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ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x7f\left(x\right)=3x-7. On note (D)\left(D\right) la droite représentative de la fonction ff. Les points suivants sont-ils des points de la droite (D)\left(D\right) :
Question 1

Le point A(1;4)A\left(1;-4\right) ?

Correction
Nous allons calculer l'image de 11 par ff. Il vient alors que :
f(1)=3×17f\left(1\right)=3\times1-7
f(1)=37f\left(1\right)=3-7
f(1)=4f\left(1\right)=-4
ainsi nous avons bien f(xA)=yAf\left(x_{A} \right)=y_{A}
Le point AA appartient donc bien à la droite (D)\left(D\right) .
Question 2

Le point B(2;5)B\left(2;5\right) ?

Correction
Nous allons calculer l'image de 22 par ff. Il vient alors que :
f(2)=3×27f\left(2\right)=3\times2-7
f(2)=67f\left(2\right)=6-7
f(2)=1f\left(2\right)=-1
ainsi on remarque que f(xB)yBf\left(x_{B} \right)\ne y_{B}
Le point BB n'appartient donc pas à la droite (D)\left(D\right) .
Question 3

Le point C(14;254)C\left(\frac{1}{4} ;-\frac{25}{4} \right) ?

Correction
Nous allons calculer l'image de 14\frac{1}{4} par ff. Il vient alors que :
f(14)=3×147f\left(\frac{1}{4} \right)=3\times \frac{1}{4} -7
f(14)=347f\left(\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{4} -7
f(14)=347×44f\left(\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{4} -\frac{7\times 4}{4} . Nous avons tout mis au même dénominateur.
f(14)=34284f\left(\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{4} -\frac{28}{4}
f(14)=254f\left(\frac{1}{4} \right)=-\frac{25}{4}
ainsi nous avons bien f(xC)=yCf\left(x_{C} \right)= y_{C}
Le point CC appartient donc bien à la droite (D)\left(D\right) .
Question 4

Existe t-il un point de la droite (D)\left(D\right) d'ordonnée 11 ?

Correction
Le point recherché, s'il existe, admet une ordonnée égale à 11. Nous cherchons donc l'abscisse de ce point.
Cela revient donc à résoudre l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 autrement dit nous cherchons l'éventuel antécédent de 11.
Il vient alors que :
3x7=13x-7=1
3x=1+73x=1+7
3x=83x=8
x=83x=\frac{8}{3}

Il existe donc un point de la droite (D)\left(D\right) d'ordonnée 11 . Nous allons noté le point E(83;1)E\left(\frac{8}{3};1\right)