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Savoir déterminer des antécédents à l'aide d'une équation (sans lecture graphique) - Exercice 3

9 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(5x+3)2−4x2f\left(x\right)=\left(5x+3\right)^{2} -4x^{2} .

Donner la forme factorisée de ff.

Correction
  • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
f(x)=(5x+3)2−4x2f\left(x\right)=\left(5x+3\right)^{2} -4x^{2} équivaut successivement à :
f(x)=(5x+3)2−(2x)2f\left(x\right)=\left(5x+3\right)^{2} -\left(2x\right)^{2}
Ici nous avons a=5x+3a=5x+3 et b=2xb=2x. Il vient alors que :
f(x)=(5x+3−2x)(5x+3+2x)f\left(x\right)=\left(5x+3-2x\right)\left(5x+3+2x\right)
f(x)=(3x+3)(7x+3)f\left(x\right)=\left(3x+3\right)\left(7x+3\right)
Question 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de 00.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0. Pour cela, la forme factorisée est idéale.
Ainsi :
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
(3x+3)(7x+3)=0\left(3x+3\right)\left(7x+3\right)=0. Il s'agit d'une équation produit nul.
3x+3=03x+3=0 ou 7x+3=07x+3=0
  • D'une part : résolvons 3x+3=03x+3=0 ainsi 3x=−33x=-3 ce qui donne x=−33=−1x=\frac{-3}{3}=-1
  • D'autre part : résolvons 7x+3=07x+3=0 ainsi 7x=−37x=-3 ce qui donne x=−37x=-\frac{3}{7}
    • Les antécédents de 00 par la fonction ff sont −1-1 et −37-\frac{3}{7}.

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