Savoir déterminer des antécédents à l'aide d'une équation (sans lecture graphique) - Exercice 2

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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x−2)2−25f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2} -25 .

Donner la forme factorisée de ff.

Correction
  • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
f(x)=(x−2)2−25f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2} -25 équivaut successivement à :
f(x)=(x−2)2−(5)2f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2} -\left(5\right)^{2}
Ici nous avons a=x−2a=x-2 et b=5b=5. Il vient alors que :
f(x)=(x−2−5)(x−2+5)f\left(x\right)=\left(x-2-5\right)\left(x-2+5\right)
f(x)=(x−7)(x+3)f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(x+3\right)
Question 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de 00.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0. Pour cela, la forme factorisée est idéale.
Ainsi :
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
(x−7)(x+3)=0\left(x-7\right)\left(x+3\right)=0. Il s'agit d'une équation produit nul.
x−7=0x-7=0 ou x+3=0x+3=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x−7=0x-7=0 qui donne x=7x=7
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x+3=0x+3=0 qui donne x=−3x=-3
    • Les antécédents de 00 par la fonction ff sont −3-3 et 77.

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