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Savoir déterminer des antécédents à l'aide d'une équation (sans lecture graphique) - Exercice 1

12 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x+4f\left(x\right)=2x+4 .

Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de −2-2.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation : f(x)=−2f\left(x\right)=-2
Ainsi :
f(x)=−2f\left(x\right)=-2 équivaut successivement à :
2x+4=−22x+4=-2
2x=−2−42x=-2-4
2x=−62x=-6
x=−62x=\frac{-6}{2}
x=−3x=-3
L'antécédents de −2-2 par la fonction ff est −3-3.
Question 2
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+2x+7f\left(x\right)=x^{2} +2x+7 .

Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de 77.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=7f\left(x\right)=7.
Ainsi :
f(x)=7f\left(x\right)=7 équivaut successivement à :
x2+2x+7=7x^{2} +2x+7=7
x2+2x=7−7x^{2} +2x=7-7
x2+2x=0x^{2} +2x=0
Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
x×x+2×x=0 {\color{blue}x}\times x+2\times {\color{blue}x}=0
x(x+2)=0{\color{blue}x}\left(x+2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
x=0x=0 ou x+2=0x+2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x+2x+2 qui donne x=−2x=-2
    • Les antécédents de 77 par la fonction ff sont 00 et −2-2.
    Question 3
    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−3x−1f\left(x\right)=2x^{2} -3x-1 .

    Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de −1-1.

    Correction
    Il nous faut résoudre l'équation f(x)=−1f\left(x\right)=-1.
    Ainsi :
    f(x)=−1f\left(x\right)=-1 équivaut successivement à :
    2x2−3x−1=−12x^{2} -3x-1=-1
    2x2−3x=−1+12x^{2} -3x=-1+1
    2x2−3x=02x^{2} -3x=0
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    2×x×x−3×x=0 2\times{\color{blue}x}\times x-3\times {\color{blue}x}=0
    x(2x−3)=0{\color{blue}x}\left(2x-3\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    x=0x=0 ou 2x−3=02x-3=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x−3=02x-3=0 d'où 2x=32x=3 qui donne x=32x=\frac{3}{2}
    • Les antécédents de −1-1 par la fonction ff sont 00 et 32\frac{3}{2}.
    Question 4
    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−5x−2f\left(x\right)=-5x-2 .

    Déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de 44.

    Correction
    Il nous faut résoudre l'équation : f(x)=4f\left(x\right)=4
    Ainsi :
    f(x)=4f\left(x\right)=4 équivaut successivement à :
    −5x−2=4-5x-2=4
    −5x=4+2-5x=4+2
    −5x=6-5x=6
    x=6−5x=\frac{6}{-5}
    x=−65x=-\frac{6}{5}
    L'antécédents de 44 par la fonction ff est −65-\frac{6}{5}.

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