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Savoir démontrer qu'une fonction est paire - Exercice 4

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Question 1

Soit ff définie sur [−5;5]\left[-5;5\right] par f(x)=x2+2f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}.  \; La fonction ff est-elle paire?

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est paire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
L'intervalle [−5;5]\left[-5;5\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−5;5]\left[-5;5\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−5;5]\left[-5;5\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−5;5]\left[-5;5\right], on a :
f(−x)=(−x)2+2f\left(-x\right)=\sqrt{(-x)^2+2}
f(−x)=(−x)×(−x)+2f\left(-x\right)=\sqrt{\left(-x\right)\times\left(-x\right)+2}
f(−x)=x2+2f\left(-x\right)=\sqrt{x^2+2}
Soit :
f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)

Donc ff est une fonction paire.
  • La courbe représentant une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

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