Savoir démontrer qu'une fonction est paire - Exercice 3

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Question 1

Soit ff définie sur [−4;0[∪]0;4]\left[-4;0\right[\cup\left]0;4\right] par f(x)=3−2x2f\left(x\right)=3-\frac{2}{x^{2}}.  \; La fonction ff est-elle paire ?

Correction

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est paire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
L'ensemble D=[−4;0[∪]0;4]D=\left[-4;0\right[\cup\left]0;4\right] est symétrique par rapport à 00 (00 en est exclu car on ne peut pas diviser par 02=00^{2}=0).
Donc pour tout réel xx appartenant à DD, son opposé −x-x appartient également à DD . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à DD, on a :
f(−x)=3−2(−x)2f\left(-x\right)=3-\frac{2}{\left(-x\right)^{2}}
f(−x)=3−2(−x)×(−x)f\left(-x\right)=3-\frac{2}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)}
f(−x)=3−2x2f\left(-x\right)=3-\frac{2}{x^{2}}
Soit :
f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)

Donc ff est une fonction paire.
  • La courbe représentant une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

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