Savoir démontrer qu'une fonction est impaire - Exercice 1

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Question 1

Soit ff définie sur [−1;1]\left[-1;1\right] par f(x)=x3f\left(x\right)=x^{3}. Démontrer que la fonction ff est impaire.

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est impaire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
L'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−1;1]\left[-1;1\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−1;1]\left[-1;1\right], on a :
f(−x)=(−x)3f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}
f(−x)=(−x)2×(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2}\times\left(-x\right)
f(−x)=x2×(−x)f\left(-x\right)=x^{2}\times\left(-x\right)
f(−x)=−x3f\left(-x\right)=-x^{3}
Soit :
f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

Donc ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentant une fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

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