Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Savoir comparer f(x1)f\left(x_{1}\right) et f(x2)f\left(x_{2}\right) - Exercice 2

10 min
25
Soit ff une fonction définie sur l’intervalle [9;13]\left[-9;13\right]. Son tableau de variations est le suivant :
Question 1

Comparer f(0)f\left(0\right) et f(4)f\left(4\right).

Correction
    Dire que la fonction ff est décroissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)f(x2)f\left(x_{1}\right)\ge f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.
Sur l'intervalle [1;5]\left[-1;5\right], la fonction ff est strictement décroissante et 0<40<4 alors
f(0)>f(4)f\left(0\right)> f\left(4\right)
. On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle [1;5]\left[-1;5\right] et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.
Question 2

Comparer f(6)f\left(6\right) et f(10)f\left(10\right).

Correction
    Dire que la fonction ff est croissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)f(x2)f\left(x_{1}\right)\le f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Sur l'intervalle [5;13]\left[5;13\right], la fonction ff est strictement croissante et 6<106<10 alors
f(6)<f(10)f\left(6\right)<f\left(10\right)
. On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle [5;13]\left[5;13\right] et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Question 3

Comparer f(2)f\left(-2\right) et f(11)f\left(11\right).

Correction
Sur l'intervalle x[2;11]x\in\left[-2;11\right] la fonction n'est pas monotone. Elle n'est pas totalement croissante ou décroissante sur l'intervalle x[2;11]x\in\left[-2;11\right]. Nous ne pouvons pas utiliser les méthodes vues précédemment.
Cependant :
  • Si x[9;1]x\in\left[-9;-1\right] alors 2f(x)72\le f\left(x\right) \le 7. Autrement dit, si x[9;1]x\in\left[-9;-1\right] alors f(x)>0f\left(x\right)>0. Il en résulte donc que f(2)>0f\left(-2\right)>0.
  • Si x[5;13]x\in\left[5;13\right] alors 8f(x)3-8\le f\left(x\right) \le -3. Autrement dit, si x[5;13]x\in\left[5;13\right] alors f(x)<0f\left(x\right)<0. Il en résulte donc que f(11)<0f\left(11\right)<0.
  • Nous pouvons affirmer que :
    f(2)>f(11)f\left(-2\right)> f\left(11\right)