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Lecture graphique : images, antécédents et résoudre graphiquement f(x)≥kf(x) \geq k ou f(x)≤kf(x) \leq k - Exercice 7

25 min
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Question 1
On considère la fonction ff dont la courbe représentative C\mathscr{C} est tracée ci-dessous :

Déterminer l'ensemble de définition de ff. On le note DfD_{f}.

Correction
L'ensemble de définition de ff est : Df=[−8;10]D_{f}=\left[-8;10\right]
Question 2

Déterminer l'image de −5-5.

Correction
L'image de −5-5 est 33.
Nous pouvons noter également
f(−5)=3f\left(-5\right)=3
Question 3

Déterminer f(4)f\left(4\right).

Correction
Déterminer f(4)f\left(4\right) peut se traduire par déterminer l'image de 44.
D'après le graphique
f(4)=−1f\left(4\right)=-1
Question 4

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0

Correction
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe C\mathscr{C} et la droite horizontale y=0y = 0 qui correspond à l'axe des abscisses.
La courbe C\mathscr{C} coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives 33 et 77.
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 est
S={3;7}S=\left\{3;7 \right\}
Question 5

Déterminer le ou les antécédents de 33 par ff.

Correction
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe C\mathscr{C} et la droite horizontale y=3y = 3.
La droite d'équation y=3y=3 coupe la courbe C\mathscr{C} aux points d'abscisses respectives −5-5 ; 11 et 99.
Par lecture graphique, les antécédents de 33 par ff sont :
S={−5;1;9}S=\left\{-5;1;9\right\}
Question 6

Dresser le tableau de variation de ff sur l'ensemble de définition DfD_{f}.

Correction
A l'aide du graphique, nous dressons ci-dessus le tableau de variation de ff.
Question 7

Quels sont les extrema de ff sur son ensemble de définition. On précisera en quelles valeurs ils sont atteint.

Correction
Nous redonnons ci-dessous le tableau de variation de ff en indiquant les extrema. C'est à dire le minimum et le maximum. Nous les avons mis en couleurs.
  • Le minimum vaut −1-1 lorsque x=4x=4.
  • Le maximum vaut 66 lorsque x=−1x=-1.
    • Question 8

    Résoudre f(x)≤0f\left(x\right)\le0.

    Correction
    On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont en dessous ou sur la droite d'équation y=0y=0 qui correspond ici à l’axe des abscisses.
    Sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right], la courbe représentative de la fonction ff est située en dessous ou sur l'axe des abscisses.
    L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≤0f\left(x\right)\le0 est l'intervalle :
    S=[3;7]S=\left[3;7\right]

    Question 9

    Résoudre f(x)≥0f\left(x\right)\ge0.

    Correction
    On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus ou sur la droite d'équation y=0y=0 qui correspond ici à l’axe des abscisses.
  • Sur l'intervalle [−8;3]\left[-8;3\right], la courbe représentative de la fonction ff est située au-dessus ou sur l'axe des abscisses.
  • Sur l'intervalle [7;10]\left[7;10\right], la courbe représentative de la fonction ff est située au-dessus ou sur l'axe des abscisses.
    • L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0f\left(x\right)\ge0 est l'intervalle :
    S=[−8;3]∪[7;10]S=\left[-8;3\right]\cup\left[7;10\right]
    Question 10

    En déduire le tableau de signe de ff.

    Correction
    D'après les questions 88 et 99, nous savons que :
  • Sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right] la fonction ff est négative.
  • Sur les intervalle [−8;3]\left[-8;3\right] et [7;10]\left[7;10\right] la fonction ff est positive.
    • Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de ff.

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