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Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Lecture graphique : images, antécédents et résoudre graphiquement f(x)≥kf(x) \geq k ou f(x)≤kf(x) \leq k - Exercice 5

25 min
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Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
Question 1
On considère la fonction ff dont la courbe représentative est tracée ci-dessous :

Déterminer l'ensemble de définition de ff. On le note DfD_{f}.

Correction
L'ensemble de définition de ff est : Df=[−7;6]D_{f}=\left[-7;6\right]
Question 2

Dresser le tableau de variation de ff de DfD_{f}.

Correction
D'après le graphique ci-dessous, nous allons dresser le tableau de variation de ff. Il vient alors que :
Question 3

Donner le maximum et le minimum de ff sur DfD_{f}.

Correction
Nous allons redonner ci-dessous le tableau de variation de la fonction ff.
  • Le minimum vaut −4-4 lorsque x=2x=2.
  • Le maximum vaut 44 lorsque x=−6x=-6.
    • Question 4

    Donner le maximum de ff sur [−3;6]\left[-3;6\right] et la valeur en laquelle il est atteint.

    Correction
    Nous allons dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [−3;6]\left[-3;6\right]
  • Le maximum vaut 00 lorsque x=−3x=-3.
    • Question 5

    Déterminer l'encadrement le plus précis possible de f(x)f\left(x\right) lorsque −7<x<0-7<x<0.

    Correction
    Nous allons dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [−7;0]\left[-7;0\right]
  • Le minimum vaut −3-3 lorsque x=0x=0.
  • Le maximum vaut 44 lorsque x=−6x=-6.
    • Il en résulte donc que si −7<x<0-7<x<0 alors −3<f(x)≤4-3<f\left(x\right)\le4
    Question 6

    Dresser le tableau de signe de ff sur DfD_{f}.

    Correction
    Nous allons donner dans un premier temps, le tableau de variation de ff en faisant apparaitre les antécédents de 00.
    On vérifie aisément que :
    Si x∈[−7;−3]x\in\left[-7;-3\right] alors la fonction ff est positive.
    Si x∈[−3;6]x\in\left[-3;6\right] alors la fonction ff est négative.
    Nous pouvons maintenant donner le tableau signe de ff.
    Question 7

    Résoudre f(x)<1f\left(x\right)<1

    Correction
    On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en dessous de la droite d'équation y=1y=1 .
    Sur l'intervalle ]−5;6]\left]-5;6\right], la courbe représentative de la fonction ff est située strictement en dessous de la droite d'équation y=1y=1.
    L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<1f\left(x\right)<1 est l'intervalle :
    S=]−5;6]S=\left]-5;6\right]
    Question 8

    Résoudre f(x)≥−3f\left(x\right)\ge-3

    Correction
    On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus de la droite d'équation y=−3y=-3 .
    Sur l'intervalle [−7;0]\left[-7;0\right], la courbe représentative de la fonction ff est située au dessus de la droite d'équation y=−3y=-3.
    Sur l'intervalle [3;6]\left[3;6\right], la courbe représentative de la fonction ff est située au dessus de la droite d'équation y=−3y=-3.
    L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥−3f\left(x\right)\ge-3 est l'intervalle :
    S=[−7;0]∪[3;6]S=\left[-7;0\right]\cup\left[3;6\right]