Exercices Types : Résolution d'équation , antécédents et images - Exercice 2

$$f\left(-1\right)=-3\times\left(-1\right)^{2} +12\times\left(-1\right)-12$$
$$f\left(-1\right)=-3\times1 +12\times\left(-1\right)-12$$
$$f\left(-1\right)=-3 -12-12$$

Cela signifie que l'image de $$-1$$ par $$f$$ vaut $$-27$$.

Il nous faut calculer $$f\left(2\right)$$.
$$f\left(2\right)=-3\times2^{2} +12\times2-12$$
$$f\left(2\right)=-3\times4 +12\times2-12$$
$$f\left(2\right)=-12+24-12$$

Le point d'intersection entre $$\mathscr{C_{f}}$$ et l'axe des ordonnées est un point dont l'abscisse est égale à $$0$$.
Nous allons donc calculer l'image de $$0$$ par $$f$$ afin d'obtenir l'ordonnée de ce point d'intersection. Il vient alors que :
$$f\left(0\right)=-3\times0^{2} +12\times0-12$$

Appelons $$I$$ le point d'intersection entre $$\mathscr{C_{f}}$$ et l'axe des ordonnées. Les coordonnées de $$I$$ sont alors $$I\left(0;-12\right)$$.

Pour déterminer les antécédents de $$-12$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-12$$.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=-12$$ équivaut successivement à :
$$-3x^{2} +12x-12=-12$$
$$-3x^{2} +12x=-12+12$$
$$-3x^{2} +12x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{red}x}$$.
$$-3\times {\color{red}x}\times x+12\times {\color{red}x}=0$$
$${\color{red}x}\left(-3x+12\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$-3x+12=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$-3x+12=0$$ d'où $$-3x=-12$$ qui donne $$x=\frac{-12}{-3}=4$$

Les antécédents de $$-12$$ par la fonction $$f$$ sont $$0$$ et $$4$$.

$$B=-3\left(x-2\right)^{2}$$
$$B=-3\left(x^{2} -2\times x\times 2+2^{2} \right)$$
$$B=-3\left(x^{2} -4x+4\right)$$
$$B=-3x^{2} -3\times \left(-4x\right)-3\times 4$$

On remarque que $$B=f\left(x\right)$$
Nous avons donc $$f\left(x\right)=-3x^{2} +12x-12$$ qui est sous forme développée et $$f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2}$$ qui est ici sous forme factorisée.

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$ nous allons utiliser la forme factorisée obtenue à la question $$5$$.
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-3\left(x-2\right)^{2} =0$$
$$\left(x-2\right)^{2} =\frac{0}{-3}$$
$$\left(x-2\right)^{2} =0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x-2=0$$ ainsi $$x=2$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x-2=0$$ ainsi $$x=2$$

Autrement la solution de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ est $$x=2$$. Cela peut aussi s'écrire : $$S=\left\{2\right\}$$

L'antécédent de $$0$$ par la fonction $$f$$ est $$2$$. Il s'agit de la définition de l'expression $$f\left(x\right)=0$$ .