Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Exercices Types : Résolution d'équation , antécédents et images - Exercice 2

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+12x12f\left(x\right)=-3x^{2} +12x-12 et soit Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative.

Calculer f(1)f\left(-1\right).

Correction
f(1)=3×(1)2+12×(1)12f\left(-1\right)=-3\times\left(-1\right)^{2} +12\times\left(-1\right)-12
f(1)=3×1+12×(1)12f\left(-1\right)=-3\times1 +12\times\left(-1\right)-12
f(1)=31212f\left(-1\right)=-3 -12-12
f(1)=27f\left(-1\right)=-27

Cela signifie que l'image de 1-1 par ff vaut 27-27.
Question 2

Déterminer l’ordonnée du point de Cf\mathscr{C_{f}} d'abscisse 22.

Correction
Il nous faut calculer f(2)f\left(2\right).
f(2)=3×22+12×212f\left(2\right)=-3\times2^{2} +12\times2-12
f(2)=3×4+12×212f\left(2\right)=-3\times4 +12\times2-12
f(2)=12+2412f\left(2\right)=-12+24-12
f(2)=0f\left(2\right)=0
Question 3

Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées.

Correction
Le point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées est un point dont l'abscisse est égale à 00.
Nous allons donc calculer l'image de 00 par ff afin d'obtenir l'ordonnée de ce point d'intersection. Il vient alors que :
f(0)=3×02+12×012f\left(0\right)=-3\times0^{2} +12\times0-12
f(0)=12f\left(0\right)=-12

Appelons II le point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées. Les coordonnées de II sont alors I(0;12)I\left(0;-12\right).
Question 4

Déterminer les antécédents de 12-12 par ff.

Correction
Pour déterminer les antécédents de 12-12, il nous faut résoudre l'équation f(x)=12f\left(x\right)=-12.
Ainsi :
f(x)=12f\left(x\right)=-12 équivaut successivement à :
3x2+12x12=12-3x^{2} +12x-12=-12
3x2+12x=12+12-3x^{2} +12x=-12+12
3x2+12x=0-3x^{2} +12x=0
Le facteur commun ici est x{\color{red}x}.
3×x×x+12×x=0-3\times {\color{red}x}\times x+12\times {\color{red}x}=0
x(3x+12)=0{\color{red}x}\left(-3x+12\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
x=0x=0 ou 3x+12=0-3x+12=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x+12=0-3x+12=0 d'où 3x=12-3x=-12 qui donne x=123=4x=\frac{-12}{-3}=4
  • Les antécédents de 12-12 par la fonction ff sont 00 et 44.
    Question 5

    Développer B=3(x2)2B=-3\left(x-2\right)^{2} . Que peut-on en déduire?

    Correction
    B=3(x2)2B=-3\left(x-2\right)^{2}
    B=3(x22×x×2+22)B=-3\left(x^{2} -2\times x\times 2+2^{2} \right)
    B=3(x24x+4)B=-3\left(x^{2} -4x+4\right)
    B=3x23×(4x)3×4B=-3x^{2} -3\times \left(-4x\right)-3\times 4
    B=3x2+12x12B=-3x^{2} +12x-12

    On remarque que B=f(x)B=f\left(x\right)
    Nous avons donc f(x)=3x2+12x12f\left(x\right)=-3x^{2} +12x-12 qui est sous forme développée et f(x)=3(x2)2f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2} qui est ici sous forme factorisée.
    Question 6

    Résoudre f(x)=0f\left(x\right)=0.

    Correction
    Pour résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 nous allons utiliser la forme factorisée obtenue à la question 55.
    f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    3(x2)2=0-3\left(x-2\right)^{2} =0
    (x2)2=03\left(x-2\right)^{2} =\frac{0}{-3}
    (x2)2=0\left(x-2\right)^{2} =0
    (x2)(x2)=0\left(x-2\right)\left(x-2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x2=0x-2=0 ainsi x=2x=2
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x2=0x-2=0 ainsi x=2x=2
  • Autrement la solution de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 est x=2x=2. Cela peut aussi s'écrire : S={2}S=\left\{2\right\}
    Question 7

    Interpréter graphiquement ce résultat.

    Correction
    L'antécédent de 00 par la fonction ff est 22. Il s'agit de la définition de l'expression f(x)=0f\left(x\right)=0 .