Montrer que f(x)=(2x+3)(x−4) . Comment s'appelle cette forme?
Correction
f(x)=(2x+3)(x−4) . Nous allons développer l'expression en utilisant la double distributivité. f(x)=2x×x+2x×(−4)+3×x+3×(−4) f(x)=2x2−8x+3x−12
f(x)=2x2−5x−12
. Cette forme correspond à la forme factorisée.
Utiliser la meilleure expression de f(x) pour :
2
Calculer f(2) .
Correction
Pour calculer f(2), nous allons utiliser la forme développée. f(2)=2×(2)2−5×(2)−12 f(2)=2×2−5×2−12 f(2)=4−52−12
f(2)=−8−52
Cela signifie que l'image de 2 par f vaut −8−52.
3
Calculer f(−1) .
Correction
Pour calculer f(−1), nous allons utiliser la forme développée. f(−1)=2×(−1)2−5×(−1)−12 f(−1)=2×1−5×(−1)−12 f(−1)=2+5−12
f(−1)=−5
4
Trouver les antécédents de −12 .
Correction
Pour déterminer les antécédents de −12, nous allons utiliser la forme développée. En effet, il nous faut résoudre l'équation f(x)=−12. Ainsi : f(x)=−12 équivaut successivement à : 2x2−5x−12=−12 2x2−5x=−12+12 2x2−5x=0 Le facteur commun ici est x. 2×x×x−5×x=0 x(2x−5)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul. x=0 ou 2x−5=0
D’une part : résolvons x=0 qui donne x=0
D’autre part : résolvons 2x−5=0 d'où 2x=5 qui donne x=25
Les antécédents de −12 par la fonction f sont 0 et 25.
5
Trouver les antécédents de 0 .
Correction
Pour déterminer les antécédents de 0, nous allons utiliser la forme factorisée. En effet, il nous faut résoudre l'équation f(x)=0. Ainsi : f(x)=0 équivaut successivement à : (2x+3)(x−4)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
D’une part : résolvons 2x+3=0 qui donne 2x=−3 ainsi x=−23
D’autre part : résolvons x−4=0 d'où x=4
Les antécédents de 0 par la fonction f sont −23 et 4.
6
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées.
Correction
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées, il faut calculer l'image de 0 par f, c'est à dire f(0). Il faut prendre ici la forme développée. Ainsi : f(0)=2×02−5×0−12
f(0)=−12
Il en résulte donc que les coordonnées du point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées et le point que l'on note A(0;−12)
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=−3x2+12x−12 et soit Cf sa courbe représentative.
Déterminer l’ordonnée du point de Cf d'abscisse 2.
Correction
Il nous faut calculer f(2). f(2)=−3×22+12×2−12 f(2)=−3×4+12×2−12 f(2)=−12+24−12
f(2)=0
3
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées.
Correction
Le point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées est un point dont l'abscisse est égale à 0. Nous allons donc calculer l'image de 0 par f afin d'obtenir l'ordonnée de ce point d'intersection. Il vient alors que : f(0)=−3×02+12×0−12
f(0)=−12
Appelons I le point d'intersection entre Cf et l'axe des ordonnées. Les coordonnées de I sont alors I(0;−12).
4
Déterminer les antécédents de −12 par f.
Correction
Pour déterminer les antécédents de −12, il nous faut résoudre l'équation f(x)=−12. Ainsi : f(x)=−12 équivaut successivement à : −3x2+12x−12=−12 −3x2+12x=−12+12 −3x2+12x=0 Le facteur commun ici est x. −3×x×x+12×x=0 x(−3x+12)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul. x=0 ou −3x+12=0
D’une part : résolvons x=0 qui donne x=0
D’autre part : résolvons −3x+12=0 d'où −3x=−12 qui donne x=−3−12=4
Les antécédents de −12 par la fonction f sont 0 et 4.
On remarque que B=f(x) Nous avons donc f(x)=−3x2+12x−12 qui est sous forme développée et f(x)=−3(x−2)2 qui est ici sous forme factorisée.
6
Résoudre f(x)=0.
Correction
Pour résoudre l'équation f(x)=0 nous allons utiliser la forme factorisée obtenue à la question 5. f(x)=0 équivaut successivement à : −3(x−2)2=0 (x−2)2=−30 (x−2)2=0 (x−2)(x−2)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
D’une part : résolvons x−2=0 ainsi x=2
D’autre part : résolvons x−2=0 ainsi x=2
Autrement la solution de l'équation f(x)=0 est x=2. Cela peut aussi s'écrire : S={2}
7
Interpréter graphiquement ce résultat.
Correction
L'antécédent de 0 par la fonction f est 2. Il s'agit de la définition de l'expression f(x)=0 .
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