Exercices Types : Résolution d'équation , antécédents et images

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-4\right)$ . Nous allons développer l'expression en utilisant la double distributivité.
$f\left(x\right)=2x\times x+2x\times \left(-4\right)+3\times x+3\times \left(-4\right)$
$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+3x-12$
. Cette forme correspond à la forme factorisée.

Pour calculer $f\left(\sqrt{2}\right)$, nous allons utiliser la forme développée.
$f\left(\sqrt{2}\right)=2\times\left(\sqrt{2}\right)^{2} -5\times \left(\sqrt{2}\right)-12$
$f\left(\sqrt{2}\right)=2\times2 -5\times \sqrt{2}-12$
$f\left(\sqrt{2}\right)=4 -5\sqrt{2}-12$

Cela signifie que l'image de $\sqrt{2}$ par $f$ vaut $-8 -5\sqrt{2}$.

Pour calculer $f\left(-1\right)$, nous allons utiliser la forme développée.
$f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^{2} -5\times \left(-1\right)-12$
$f\left(-1\right)=2\times1 -5\times \left(-1\right)-12$
$f\left(-1\right)=2 +5-12$

Pour déterminer les antécédents de $-12$, nous allons utiliser la forme développée.
En effet, il nous faut résoudre l'équation $f\left(x\right)=-12$.
Ainsi :
$f\left(x\right)=-12$ équivaut successivement à :
$2x^{2} -5x-12=-12$
$2x^{2} -5x=-12+12$
$2x^{2} -5x=0$
Le facteur commun ici est ${\color{red}x}$.
$2\times {\color{red}x}\times x-5\times {\color{red}x}=0$
${\color{red}x}\left(2x-5\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$x=0$ ou $2x-5=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $x=0$ qui donne $x=0$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $2x-5=0$ d'où $2x=5$ qui donne $x=\frac{5}{2}$

Les antécédents de $-12$ par la fonction $f$ sont $0$ et $\frac{5}{2}$.

Pour déterminer les antécédents de $0$, nous allons utiliser la forme factorisée.
En effet, il nous faut résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.
Ainsi :
$f\left(x\right)=0$ équivaut successivement à :
$\left(2x+3\right)\left(x-4\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $2x+3=0$ qui donne $2x=-3$ ainsi $x=-\frac{3}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $x-4=0$ d'où $x=4$

Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont $-\frac{3}{2}$ et $4$.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $C_{f}$ et l'axe des ordonnées, il faut calculer l'image de $0$ par $f$, c'est à dire $f\left(0\right)$.
Il faut prendre ici la forme développée. Ainsi :
$f\left(0\right)=2\times0^{2} -5\times 0-12$

Il en résulte donc que les coordonnées du point d'intersection entre $C_{f}$ et l'axe des ordonnées et le point que l'on note $A\left(0;-12\right)$

$f\left(-1\right)=-3\times\left(-1\right)^{2} +12\times\left(-1\right)-12$
$f\left(-1\right)=-3\times1 +12\times\left(-1\right)-12$
$f\left(-1\right)=-3 -12-12$

Cela signifie que l'image de $-1$ par $f$ vaut $-27$.

Il nous faut calculer $f\left(2\right)$.
$f\left(2\right)=-3\times2^{2} +12\times2-12$
$f\left(2\right)=-3\times4 +12\times2-12$
$f\left(2\right)=-12+24-12$

Le point d'intersection entre $\mathscr{C_{f}}$ et l'axe des ordonnées est un point dont l'abscisse est égale à $0$.
Nous allons donc calculer l'image de $0$ par $f$ afin d'obtenir l'ordonnée de ce point d'intersection. Il vient alors que :
$f\left(0\right)=-3\times0^{2} +12\times0-12$

Appelons $I$ le point d'intersection entre $\mathscr{C_{f}}$ et l'axe des ordonnées. Les coordonnées de $I$ sont alors $I\left(0;-12\right)$.

Pour déterminer les antécédents de $-12$, il nous faut résoudre l'équation $f\left(x\right)=-12$.
Ainsi :
$f\left(x\right)=-12$ équivaut successivement à :
$-3x^{2} +12x-12=-12$
$-3x^{2} +12x=-12+12$
$-3x^{2} +12x=0$
Le facteur commun ici est ${\color{red}x}$.
$-3\times {\color{red}x}\times x+12\times {\color{red}x}=0$
${\color{red}x}\left(-3x+12\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$x=0$ ou $-3x+12=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $x=0$ qui donne $x=0$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $-3x+12=0$ d'où $-3x=-12$ qui donne $x=\frac{-12}{-3}=4$

Les antécédents de $-12$ par la fonction $f$ sont $0$ et $4$.

$B=-3\left(x-2\right)^{2}$
$B=-3\left(x^{2} -2\times x\times 2+2^{2} \right)$
$B=-3\left(x^{2} -4x+4\right)$
$B=-3x^{2} -3\times \left(-4x\right)-3\times 4$

On remarque que $B=f\left(x\right)$
Nous avons donc $f\left(x\right)=-3x^{2} +12x-12$ qui est sous forme développée et $f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2}$ qui est ici sous forme factorisée.

Pour résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$ nous allons utiliser la forme factorisée obtenue à la question $5$.
$f\left(x\right)=0$ équivaut successivement à :
$-3\left(x-2\right)^{2} =0$
$\left(x-2\right)^{2} =\frac{0}{-3}$
$\left(x-2\right)^{2} =0$
$\left(x-2\right)\left(x-2\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $x-2=0$ ainsi $x=2$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $x-2=0$ ainsi $x=2$

Autrement la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $x=2$. Cela peut aussi s'écrire : $S=\left\{2\right\}$

L'antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $2$. Il s'agit de la définition de l'expression $f\left(x\right)=0$ .