Exercices Types : Résolution d'équation , antécédents et images - Exercice 1

$$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-4\right)$$ . Nous allons développer l'expression en utilisant la double distributivité.
$$f\left(x\right)=2x\times x+2x\times \left(-4\right)+3\times x+3\times \left(-4\right)$$
$$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+3x-12$$
. Cette forme correspond à la forme factorisée.

Pour calculer $$f\left(\sqrt{2}\right)$$, nous allons utiliser la forme développée.
$$f\left(\sqrt{2}\right)=2\times\left(\sqrt{2}\right)^{2} -5\times \left(\sqrt{2}\right)-12$$
$$f\left(\sqrt{2}\right)=2\times2 -5\times \sqrt{2}-12$$
$$f\left(\sqrt{2}\right)=4 -5\sqrt{2}-12$$

Cela signifie que l'image de $$\sqrt{2}$$ par $$f$$ vaut $$-8 -5\sqrt{2}$$.

Pour calculer $$f\left(-1\right)$$, nous allons utiliser la forme développée.
$$f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^{2} -5\times \left(-1\right)-12$$
$$f\left(-1\right)=2\times1 -5\times \left(-1\right)-12$$
$$f\left(-1\right)=2 +5-12$$

Pour déterminer les antécédents de $$-12$$, nous allons utiliser la forme développée.
En effet, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-12$$.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=-12$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2} -5x-12=-12$$
$$2x^{2} -5x=-12+12$$
$$2x^{2} -5x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{red}x}$$.
$$2\times {\color{red}x}\times x-5\times {\color{red}x}=0$$
$${\color{red}x}\left(2x-5\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$2x-5=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$2x-5=0$$ d'où $$2x=5$$ qui donne $$x=\frac{5}{2}$$

Les antécédents de $$-12$$ par la fonction $$f$$ sont $$0$$ et $$\frac{5}{2}$$.

Pour déterminer les antécédents de $$0$$, nous allons utiliser la forme factorisée.
En effet, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(2x+3\right)\left(x-4\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$2x+3=0$$ qui donne $$2x=-3$$ ainsi $$x=-\frac{3}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x-4=0$$ d'où $$x=4$$

Les antécédents de $$0$$ par la fonction $$f$$ sont $$-\frac{3}{2}$$ et $$4$$.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $$C_{f}$$ et l'axe des ordonnées, il faut calculer l'image de $$0$$ par $$f$$, c'est à dire $$f\left(0\right)$$.
Il faut prendre ici la forme développée. Ainsi :
$$f\left(0\right)=2\times0^{2} -5\times 0-12$$

Il en résulte donc que les coordonnées du point d'intersection entre $$C_{f}$$ et l'axe des ordonnées et le point que l'on note $$A\left(0;-12\right)$$