Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Exercices Types : Résolution d'équation , antécédents et images - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x25x12f\left(x\right)=2x^{2} -5x-12 et soit Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative.
Cette forme correspond à la forme développée.

Montrer que f(x)=(2x+3)(x4)f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-4\right) . Comment s'appelle cette forme?

Correction
f(x)=(2x+3)(x4)f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-4\right) . Nous allons développer l'expression en utilisant la double distributivité.
f(x)=2x×x+2x×(4)+3×x+3×(4)f\left(x\right)=2x\times x+2x\times \left(-4\right)+3\times x+3\times \left(-4\right)
f(x)=2x28x+3x12f\left(x\right)=2x^{2} -8x+3x-12
f(x)=2x25x12f\left(x\right)=2x^{2} -5x-12
. Cette forme correspond à la forme factorisée.
Question 2
Utiliser la meilleure expression de f(x)f\left(x\right) pour :

Calculer f(2)f\left(\sqrt{2}\right) .

Correction
Pour calculer f(2)f\left(\sqrt{2}\right), nous allons utiliser la forme développée.
f(2)=2×(2)25×(2)12f\left(\sqrt{2}\right)=2\times\left(\sqrt{2}\right)^{2} -5\times \left(\sqrt{2}\right)-12
f(2)=2×25×212f\left(\sqrt{2}\right)=2\times2 -5\times \sqrt{2}-12
f(2)=45212f\left(\sqrt{2}\right)=4 -5\sqrt{2}-12
f(2)=852f\left(\sqrt{2}\right)=-8 -5\sqrt{2}

Cela signifie que l'image de 2\sqrt{2} par ff vaut 852-8 -5\sqrt{2}.
Question 3

Calculer f(1)f\left(-1\right) .

Correction
Pour calculer f(1)f\left(-1\right), nous allons utiliser la forme développée.
f(1)=2×(1)25×(1)12f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^{2} -5\times \left(-1\right)-12
f(1)=2×15×(1)12f\left(-1\right)=2\times1 -5\times \left(-1\right)-12
f(1)=2+512f\left(-1\right)=2 +5-12
f(1)=5f\left(-1\right)=-5
Question 4

Trouver les antécédents de 12-12 .

Correction
Pour déterminer les antécédents de 12-12, nous allons utiliser la forme développée.
En effet, il nous faut résoudre l'équation f(x)=12f\left(x\right)=-12.
Ainsi :
f(x)=12f\left(x\right)=-12 équivaut successivement à :
2x25x12=122x^{2} -5x-12=-12
2x25x=12+122x^{2} -5x=-12+12
2x25x=02x^{2} -5x=0
Le facteur commun ici est x{\color{red}x}.
2×x×x5×x=02\times {\color{red}x}\times x-5\times {\color{red}x}=0
x(2x5)=0{\color{red}x}\left(2x-5\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
x=0x=0 ou 2x5=02x-5=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x5=02x-5=0 d'où 2x=52x=5 qui donne x=52x=\frac{5}{2}
  • Les antécédents de 12-12 par la fonction ff sont 00 et 52\frac{5}{2}.
    Question 5

    Trouver les antécédents de 00 .

    Correction
    Pour déterminer les antécédents de 00, nous allons utiliser la forme factorisée.
    En effet, il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0.
    Ainsi :
    f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    (2x+3)(x4)=0\left(2x+3\right)\left(x-4\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 2x+3=02x+3=0 qui donne 2x=32x=-3 ainsi x=32x=-\frac{3}{2}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x4=0x-4=0 d'où x=4x=4
  • Les antécédents de 00 par la fonction ff sont 32-\frac{3}{2} et 44.
    Question 6

    Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre CfC_{f} et l'axe des ordonnées.

    Correction
    Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection entre CfC_{f} et l'axe des ordonnées, il faut calculer l'image de 00 par ff, c'est à dire f(0)f\left(0\right).
    Il faut prendre ici la forme développée. Ainsi :
    f(0)=2×025×012f\left(0\right)=2\times0^{2} -5\times 0-12
    f(0)=12f\left(0\right)=-12

    Il en résulte donc que les coordonnées du point d'intersection entre CfC_{f} et l'axe des ordonnées et le point que l'on note A(0;12)A\left(0;-12\right)