Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Exercices types : Lectures graphiques - Exercice 3

20 min
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On considère le tableau de variation de la fonction ff.
Question 1
Pour chaque proposition , dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir.

L'image de 00 par la fonction ff est 44.

Correction
La proposition est fausse.
L'image de 00 par ff est un réel compris entre 1-1 et 22.
Question 2

f(3)f\left(3\right) est positif.

Correction
La proposition est fausse.
En effet si x]2;4[x\in\left]2;4\right[ alors 1<f(x)<0-1< f\left(x\right) <0.
Il en résulte donc que :
1<f(3)<0-1< f\left(3\right) <0
Question 3

00 a deux antécédents par ff.

Correction
La proposition est vraie.
D'après le tableau de variation, nous pouvons lire que : f(1)=0f\left(1\right)=0 et f(4)=0f\left(4\right)=0.
Question 4

f(4)<f(3)f\left(-4\right)< f\left(-3\right)

Correction
La proposition est fausse.
    Dire que la fonction ff est décroissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)f(x2)f\left(x_{1}\right)\ge f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.
Sur l'intervalle [6;2]\left[-6;-2\right], la fonction ff est strictement décroissante et 4<3-4<-3 alors
f(4)>f(3)f\left(-4\right)> f\left(-3\right)

Question 5

f(3)f(1,5)f\left(-3\right)\ge f\left(-1,5\right)

Correction
On ne peut pas savoir.
En effet, 1<f(3)<31< f\left(-3\right) <3 et 1<f(1,5)<21< f\left(-1,5\right) <2 .
Il existe au moins un réel commun au deux intervalles , par exemple 32\frac{3}{2} .
Nous ne sommes donc pas en mesure de comparer à coup sûr f(3)f\left(-3\right) et f(1,5)f\left(-1,5\right)
Question 6

Si x[1;4]x\in\left[-1;4\right] , on a alors f(x)f(1)f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)

Correction
La proposition est fausse.
D'après le tableau de variation, si x[1;4]x\in\left[-1;4\right] alors la fonction ff admet un minimum qui vaut 1-1.
Cela signifie donc que si x[1;4]x\in\left[-1;4\right] alors f(x)1f\left(x\right)\ge -1.
Question 7

f(1,5)f(3)f\left(-1,5\right)\ge f\left(3\right)

Correction
La proposition est vraie.
En effet, 1<f(1,5)<21< f\left(-1,5\right) <2 et 1<f(3)<0-1< f\left(3\right) <0
Cela signifie donc que f(1,5)>0f\left(-1,5\right)>0 et f(3)<0f\left(3\right)<0
Ainsi :
f(1,5)f(3)f\left(-1,5\right)\ge f\left(3\right)

Question 8

Quel est le signe de ff sur son ensemble de définition?

Correction
Nous redonnons ci-dessous le tableau de variation de ff.
On vérifie aisément , à l'aide du tableau de variation, que :
  • Sur l'intervalle [6;1]\left[-6;1\right] la fonction ff est positive.
  • Sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right] la fonction ff est négative.
  • Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de ff.