On considère le tableau de variation de la fonction f.
Pour chaque proposition , dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir.
Question 1
L'image de 0 par la fonction f est 4.
Correction
La proposition est fausse.
L'image de 0 par f est un réel compris entre −1 et 2.
Question 2
f(3) est positif.
Correction
La proposition est fausse.
En effet si x∈]2;4[ alors −1<f(x)<0. Il en résulte donc que :
−1<f(3)<0
Question 3
0 a deux antécédents par f.
Correction
La proposition est vraie.
D'après le tableau de variation, nous pouvons lire que : f(1)=0 et f(4)=0.
Question 4
f(−4)<f(−3)
Correction
La proposition est fausse.
Dire que la fonction f est décroissante sur un intervalle I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I.
Si x1≤x2 alors f(x1)≥f(x2).
On dit que la fonction f change l’ordre : les réels de l’intervalle I et leurs images par f sont rangés dans un ordre contraire.
Sur l'intervalle [−6;−2], la fonction f est strictement décroissante et −4<−3 alors
f(−4)>f(−3)
Question 5
f(−3)≥f(−1,5)
Correction
On ne peut pas savoir.
En effet, 1<f(−3)<3 et 1<f(−1,5)<2 . Il existe au moins un réel commun au deux intervalles , par exemple 23 . Nous ne sommes donc pas en mesure de comparer à coup sûr f(−3) et f(−1,5)
Question 6
Si x∈[−1;4] , on a alors f(x)≥f(−1)
Correction
La proposition est fausse.
D'après le tableau de variation, si x∈[−1;4] alors la fonction f admet un minimum qui vaut −1. Cela signifie donc que si x∈[−1;4] alors f(x)≥−1.
Question 7
f(−1,5)≥f(3)
Correction
La proposition est vraie.
En effet, 1<f(−1,5)<2 et −1<f(3)<0 Cela signifie donc que f(−1,5)>0 et f(3)<0 Ainsi :
f(−1,5)≥f(3)
Question 8
Quel est le signe de f sur son ensemble de définition?
Correction
Nous redonnons ci-dessous le tableau de variation de f.
On vérifie aisément , à l'aide du tableau de variation, que :
Sur l'intervalle [−6;1] la fonction f est positive.
Sur l'intervalle [1;4] la fonction f est négative.
Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de f.
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