Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Exercices types : Lectures graphiques - Exercice 3

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On considère le tableau de variation de la fonction ff.
Pour chaque proposition , dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir.
Question 1

L'image de 00 par la fonction ff est 44.

Correction
La proposition est fausse.
L'image de 00 par ff est un réel compris entre −1-1 et 22.
Question 2

f(3)f\left(3\right) est positif.

Correction
La proposition est fausse.
En effet si x∈]2;4[x\in\left]2;4\right[ alors −1<f(x)<0-1< f\left(x\right) <0.
Il en résulte donc que :
−1<f(3)<0-1< f\left(3\right) <0
Question 3

00 a deux antécédents par ff.

Correction
La proposition est vraie.
D'après le tableau de variation, nous pouvons lire que : f(1)=0f\left(1\right)=0 et f(4)=0f\left(4\right)=0.
Question 4

f(−4)<f(−3)f\left(-4\right)< f\left(-3\right)

Correction
La proposition est fausse.
    Dire que la fonction ff est décroissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≥f(x2)f\left(x_{1}\right)\ge f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.
Sur l'intervalle [−6;−2]\left[-6;-2\right], la fonction ff est strictement décroissante et −4<−3-4<-3 alors
f(−4)>f(−3)f\left(-4\right)> f\left(-3\right)

Question 5

f(−3)≥f(−1,5)f\left(-3\right)\ge f\left(-1,5\right)

Correction
On ne peut pas savoir.
En effet, 1<f(−3)<31< f\left(-3\right) <3 et 1<f(−1,5)<21< f\left(-1,5\right) <2 .
Il existe au moins un réel commun au deux intervalles , par exemple 32\frac{3}{2} .
Nous ne sommes donc pas en mesure de comparer à coup sûr f(−3)f\left(-3\right) et f(−1,5)f\left(-1,5\right)
Question 6

Si x∈[−1;4]x\in\left[-1;4\right] , on a alors f(x)≥f(−1)f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)

Correction
La proposition est fausse.
D'après le tableau de variation, si x∈[−1;4]x\in\left[-1;4\right] alors la fonction ff admet un minimum qui vaut −1-1.
Cela signifie donc que si x∈[−1;4]x\in\left[-1;4\right] alors f(x)≥−1f\left(x\right)\ge -1.
Question 7

f(−1,5)≥f(3)f\left(-1,5\right)\ge f\left(3\right)

Correction
La proposition est vraie.
En effet, 1<f(−1,5)<21< f\left(-1,5\right) <2 et −1<f(3)<0-1< f\left(3\right) <0
Cela signifie donc que f(−1,5)>0f\left(-1,5\right)>0 et f(3)<0f\left(3\right)<0
Ainsi :
f(−1,5)≥f(3)f\left(-1,5\right)\ge f\left(3\right)

Question 8

Quel est le signe de ff sur son ensemble de définition?

Correction
Nous redonnons ci-dessous le tableau de variation de ff.
On vérifie aisément , à l'aide du tableau de variation, que :
  • Sur l'intervalle [−6;1]\left[-6;1\right] la fonction ff est positive.
  • Sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right] la fonction ff est négative.
    • Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de ff.