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Exercices types : Equations - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

3x−4=−5x+13x-4=-5x+1

Correction
3x−4=−5x+13x-4=-5x+1 équivaut successivement à :
3x+5x=1+43x+5x=1+4
8x=58x=5
x=58x=\frac{5}{8}
La solution de l'équation est alors :
S={58}S=\left\{\frac{5}{8}\right\}
Question 2

3(x−2)−(6x−1)=03\left(x-2\right)-\left(6x-1\right)=0

Correction
3(x−2)−(6x−1)=03\left(x-2\right)-\left(6x-1\right)=0 équivaut successivement à :
3×x+3×(−2)−(6x−1)=03\times x+3\times \left(-2\right)-\left(6x-1\right)=0
3x−6−(6x−1)=03x-6-\left(6x-1\right)=0 . Nous avons commencé par développer puis on réduit.
3x−6−6x+1=03x-6-6x+1=0 . Ici, nous avons changé les signes devant la parenthèse car nous avions le signe moins.
−3x−5=0-3x-5=0
−3x=5-3x=5
x=5−3x=\frac{5}{-3}
x=−53x=-\frac{5}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={−53}S=\left\{-\frac{5}{3}\right\}
Question 3

2x−13=5x+42\frac{2x-1}{3} =\frac{5x+4}{2}

Correction
2x−13=5x+42\frac{2x-1}{3} =\frac{5x+4}{2} équivaut successivement à :
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(2x−1)×2=3×(5x+4)\left(2x-1\right)\times 2=3\times\left(5x+4\right)
4x−2=15x+124x-2=15x+12
4x−15x=12+24x-15x=12+2
−11x=14-11x=14
x=14−11x=\frac{14}{-11}
x=−1411x=-\frac{14}{11}
La solution de l'équation est alors :
S={−1411}S=\left\{-\frac{14}{11}\right\}

Question 4

(9x−1)(3x−8)=0\left(9x-1\right)\left(3x-8\right)=0

Correction
(9x−1)(3x−8)=0\left(9x-1\right)\left(3x-8\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
9x−1=09x-1=0 ou 3x−8=03x-8=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 9x−1=09x-1=0 qui donne 9x=19x=1 . D'où : x=19x=\frac{1}{9}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x−8=03x-8=0 qui donne 3x=83x=8 . D'où : x=83x=\frac{8}{3}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={19;83}S=\left\{\frac{1}{9};\frac{8}{3}\right\}

    Question 5

    (2x−1)2−100=0\left(2x-1\right)^{2} -100=0

    Correction
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    (2x−1)2−100=0\left(2x-1\right)^{2} -100=0 équivaut successivement à :
    (2x−1)2−(10)2=0\left(2x-1\right)^{2} -\left(10\right)^{2}=0
    Ici nous avons a=2x−1a=2x-1 et b=10b=10. Il vient alors que :
    (2x−1−10)(2x−1+10)=0\left(2x-1-10\right)\left(2x-1+10\right)=0
    (2x−11)(2x+9)=0\left(2x-11\right)\left(2x+9\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    2x−11=02x-11=0 ou 2x+9=02x+9=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 2x−11=02x-11=0 qui donne 2x=112x=11 . D'où : x=112x=\frac{11}{2}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x+9=02x+9=0 qui donne 2x=−92x=-9 . D'où : x=−92x=-\frac{9}{2}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−92;112}S=\left\{-\frac{9}{2};\frac{11}{2}\right\}

    Question 6

    4x2+5x=04x^{2} +5x=0

    Correction
    4x2+5x=04x^{2} +5x=0 équivaut successivement à :
    Le facteur commun ici est x{\color{red}x}.
    x×4x+5×x=0 {\color{red}x}\times 4x+5\times {\color{red}x}=0
    x(4x+5)=0{\color{red}x}\left(4x+5\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    x=0x=0 ou 4x+5=04x+5=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 4x+5=04x+5=0 qui donne 4x=−54x=-5. D'où : x=−54x=-\frac{5}{4}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−54;0}S=\left\{-\frac{5}{4};0\right\}
    Question 7

    (4x+2)2=(5x−1)2\left(4x+2\right)^{2} =\left(5x-1\right)^{2}

    Correction
    (4x+2)2=(5x−1)2\left(4x+2\right)^{2} =\left(5x-1\right)^{2} équivaut successivement à :
    (4x+2)2−(5x−1)2=0\left(4x+2\right)^{2} -\left(5x-1\right)^{2} =0
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    Ici nous avons a=4x+2a=4x+2 et b=5x−1b=5x-1. Il vient alors que :
    (4x+2−(5x−1))(4x+2+(5x−1))=0\left(4x+2-\left(5x-1\right)\right)\left(4x+2+\left(5x-1\right)\right)=0 .
    (4x+2−5x+1)(4x+2+5x−1)=0\left(4x+2-5x+1\right)\left(4x+2+5x-1\right)=0
    (−x+3)(9x+1)=0\left(-x+3\right)\left(9x+1\right)=0. Il s'agit d'une équation produit nul.
    −x+3=0-x+3=0 ou 9x+1=09x+1=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons −x+3=0-x+3=0 qui donne −x=−3-x=-3. D'où : x=3x=3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 9x+1=09x+1=0 qui donne 9x=−19x=-1. D'où : x=−19x=-\frac{1}{9}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−19;3}S=\left\{-\frac{1}{9};3\right\}

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