Exercices types : BILAN avant le DS - Exercice 2

Il nous faut calculer $$f\left(-1\right)$$ . Il vient alors que :
$$f\left(-1\right)=-\left(-1\right)^{2}+2\times\left(-1\right)-6$$
$$f\left(-1\right)=-1\times\left(1\right)-2-6$$
$$f\left(-1\right)=-1-2-6$$
Ainsi :
L'image de $$-1$$ par la fonction $$f$$ vaut $$-9$$ .

Le point $$A\left(-3;21\right)$$ appartient à $$\mathscr{C_f}$$ si et seulement si $$f\left(-3\right)=21$$.
Il nous donc calculer $$f\left(-3\right)$$ .
$$f\left(-3\right)=-\left(-3\right)^{2}+2\times\left(-3\right)-6$$
$$f\left(-3\right)=-1\times\left(9\right)-6-6$$
$$f\left(-3\right)=-9-6-6$$
Ainsi :
Or $$f\left(-3\right)=-21\ne21$$
Le point $$A\left(-3;21\right)$$ n'appartient pas à $$\mathscr{C_f}$$ .

Pour déterminer les antécédents de $$-6$$ par $$f$$, nous allons résoudre $$f\left(x\right)=-6$$.
$$f\left(x\right)=-6$$ équivaut successivement à :
$$-x^{2}+2x-6=-6$$
$$-x^{2}+2x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{red}x}$$.
$${\color{red}x}\times \left(-x\right)+2\times {\color{red}x}=0$$
$${\color{red}x}\left(-x+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$-x+2=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$-x+2=0$$ qui donne $$-x=-2$$. D'où : $$x=\frac{-2}{-1}=2$$

Les solutions de l'équation sont alors :