Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme xar\left|x-a\right|\le r et xa<r\left|x-a\right|< r - Exercice 3

4 min
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Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :

x37\left|x-3\right|\le 7

Correction
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • xar\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x[ar;a+r]x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]
  • xa<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x]ar;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
On a donc : x37\left|x-{\color{red}3}\right|\le {\color{blue}7} est équivalent à : x[37;3+7]x\in \left[{\color{red}3}-{\color{blue}7};{\color{red}3}+{\color{blue}7}\right]
Finalement :
x37x[4;10]\left|x-3\right|\le 7 \Leftrightarrow x\in\left[-4;10\right] .
Question 2

x+210\left|x+2\right|\le 10

Correction
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • xar\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x[ar;a+r]x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]
  • xa<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x]ar;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
Tout d'abord nous allons transformer l'expression x+210\left|x+2\right|\le 10 sous la forme x(2)10\left|x-\left(-2\right)\right|\le 10.
Cela nous fait apparaitre la forme présente dans le rappel.
On a donc : x(2)10\left|x-\left({\color{red}-2}\right)\right|\le {\color{blue}10} est équivalent à : x[210;2+10]x\in \left[{\color{red}-2}-{\color{blue}10};{\color{red}-2}+{\color{blue}10}\right]
Finalement :
x+210x[12;8]\left|x+2\right|\le 10\Leftrightarrow x\in\left[-12;8\right] .