Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≤r\left|x-a\right|\le r et ∣x−a∣<r\left|x-a\right|< r - Exercice 2

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Question 1

Ecrire ∣x−2∣≤8\left|x-2\right|\le 8 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction

Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≤r\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[a−r;a+r]x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]
  • ∣x−a∣<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]a−r;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
On a donc : ∣x−2∣≤8\left|x-{\color{red}2}\right|\le {\color{blue}8} est équivalent à : x∈[2−8;2+8]x\in \left[{\color{red}2}-{\color{blue}8};{\color{red}2}+{\color{blue}8}\right]
Finalement :
∣x−2∣≤8⇔x∈[−6;10]\left|x-2\right|\le 8 \Leftrightarrow x\in\left[-6;10\right] .
La représentation de l'inégalité ∣x−2∣≤8\left|x-2\right|\le 8 est donnée ci-dessous :
Question 2

Ecrire ∣x−3∣≤4\left|x-3\right|\le 4 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction

Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≤r\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[a−r;a+r]x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]
  • ∣x−a∣<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]a−r;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
On a donc : ∣x−3∣≤4\left|x-{\color{red}3}\right|\le {\color{blue}4} est équivalent à : x∈[3−4;3+4]x\in \left[{\color{red}3}-{\color{blue}4};{\color{red}3}+{\color{blue}4}\right]
Finalement :
∣x−3∣≤4⇔x∈[−1;7]\left|x-3\right|\le 4 \Leftrightarrow x\in\left[-1;7\right] .
La représentation de l'inégalité ∣x−3∣≤4\left|x-3\right|\le 4 est donnée ci-dessous :