Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≤r\left|x-a\right|\le r et ∣x−a∣<r\left|x-a\right|< r - Exercice 1

10 min
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Question 1

Ecrire ∣x∣≤3\left|x\right|\le 3 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
Soit rr un réel positif alors :
  • ∣x∣≤r\left|x\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[−r;r]x\in \left[-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right]
  • ∣x∣<r\left|x\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−r;r[x\in \left]-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right[
∣x∣≤3⇔x∈[−3;3]\left|x\right|\le {\color{blue}3}\Leftrightarrow x\in \left[-{\color{blue}3};{\color{blue}3}\right]
La représentation de l'inégalité ∣x∣≤3\left|x\right|\le 3 est donnée ci-dessous :
Question 2

Ecrire ∣x∣≤7\left|x\right|\le 7 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
Soit rr un réel positif alors :
  • ∣x∣≤r\left|x\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[−r;r]x\in \left[-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right]
  • ∣x∣<r\left|x\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−r;r[x\in \left]-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right[
∣x∣≤7⇔x∈[−7;7]\left|x\right|\le {\color{blue}7}\Leftrightarrow x\in \left[-{\color{blue}7};{\color{blue}7}\right]
La représentation de l'inégalité ∣x∣≤7\left|x\right|\le 7 est donnée ci-dessous :
Question 3

Ecrire ∣x∣<2\left|x\right|< 2 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
Soit rr un réel positif alors :
  • ∣x∣≤r\left|x\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[−r;r]x\in \left[-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right]
  • ∣x∣<r\left|x\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−r;r[x\in \left]-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right[
∣x∣<2⇔x∈]−2;2[\left|x\right|< {\color{blue}2}\Leftrightarrow x\in \left]-{\color{blue}2};{\color{blue}2}\right[
La représentation de l'inégalité ∣x∣<2\left|x\right|< 2 est donnée ci-dessous :
Question 4

Ecrire ∣x∣≤−9\left|x\right|\le -9 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
Soit rr un réel positif alors :
  • ∣x∣≤r\left|x\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à x∈[−r;r]x\in \left[-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right]
  • ∣x∣<r\left|x\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−r;r[x\in \left]-{\color{blue}r};{\color{blue}r}\right[
ATTENTION\red{\text{ATTENTION}}
Ici, l'inéquation n'a pas de sens. En effet, une valeur absolue est positive ou nulle. Elle ne peut donc pas être inférieure à une valeur négative.