Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≤r\left|x-a\right|\le r et ∣x−a∣<r\left|x-a\right|< r - Exercice 1

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Question 1

Ecrire ∣x∣≤3\left|x\right|\le 3 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
∣x∣=∣x−0∣\left|x\right|=\left|x-0\right| est la distance de xx à 00.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 00 est inférieure ou égale à 33.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc l'intervalle [−3;3]\left[-3;3\right].
Ainsi : ∣x∣≤3⇔x∈[−3;3]\left|x\right|\le 3\Leftrightarrow x\in\left[-3;3\right]
Question 2

Ecrire ∣x∣≤7\left|x\right|\le 7 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
∣x∣=∣x−0∣\left|x\right|=\left|x-0\right| est la distance de xx à 00.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 00 est inférieure ou égale à 77.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc l'intervalle [−7;7]\left[-7;7\right].
Ainsi : ∣x∣≤7⇔x∈[−7;7]\left|x\right|\le 7\Leftrightarrow x\in\left[-7;7\right]
Question 3

Ecrire ∣x∣<2\left|x\right|< 2 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
∣x∣=∣x−0∣\left|x\right|=\left|x-0\right| est la distance de xx à 00.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 00 est strictement inférieure à 22.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc l'intervalle ]−2;2[\left]-2;2\right[ : les bornes −2-2 et 22 sont exclues car l'inégalité est stricte.
Ainsi : ∣x∣<2⇔x∈]−2;2[\left|x\right|< 2\Leftrightarrow x\in\left]-2;2\right[
Question 4

Ecrire ∣x∣≤−9\left|x\right|\le -9 à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction
ATTENTION\red{\text{ATTENTION}}
∣x∣\left|x\right| est la distance de xx à 00 : une distance est toujours positive ou nulle.
Elle ne peut donc jamais être inférieure ou égale à −9-9.
Aucun réel ne vérifie ∣x∣≤−9\left|x\right|\le -9 : on ne peut pas l'écrire à l'aide d'un intervalle et il n'y a rien à représenter sur l'axe.
L'ensemble des solutions est vide : S=∅S=\varnothing

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