Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≥r\left|x-a\right|\ge r et ∣x−a∣>r\left|x-a\right|> r - Exercice 2

3 min
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Question 1

Ecrire ∣x−2∣≥3\left|x-2\right|\ge 3 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 22 est supérieure ou égale à 33.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] et [5;+∞[\left[5;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x−2∣≥3⇔x∈]−∞;−1]∪[5;+∞[\left|x-2\right|\ge 3\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-1\right]\cup\left[5;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x−2∣≥3\left|x-{\color{red}2}\right|\ge {\color{blue}3} est équivalent à : x∈]−∞;2−3]∪[2+3;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}2}-{\color{blue}3}\right]\cup \left[{\color{red}2}+{\color{blue}3};+\infty \right[
Finalement :
∣x−2∣≥3⇔x∈]−∞;−1]∪[5;+∞[\left|x-2\right|\ge 3 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right]\cup \left[5;+\infty \right[ .
Question 2

Ecrire ∣x−5∣≥6\left|x-5\right|\ge 6 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 55 est supérieure ou égale à 66.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] et [11;+∞[\left[11;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x−5∣≥6⇔x∈]−∞;−1]∪[11;+∞[\left|x-5\right|\ge 6\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-1\right]\cup\left[11;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x−5∣≥6\left|x-{\color{red}5}\right|\ge {\color{blue}6} est équivalent à : x∈]−∞;5−6]∪[5+6;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}5}-{\color{blue}6}\right]\cup \left[{\color{red}5}+{\color{blue}6};+\infty \right[
Finalement :
∣x−5∣≥6⇔x∈]−∞;−1]∪[11;+∞[\left|x-5\right|\ge 6 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right]\cup \left[11;+\infty \right[ .
Question 3

Ecrire ∣x+4∣≥1\left|x+4\right|\ge 1 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
On écrit d'abord ∣x+4∣=∣x−(−4)∣\left|x+4\right|=\left|x-\left(-4\right)\right| : c'est la distance de xx à −4-4.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à −4-4 est supérieure ou égale à 11.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−5]\left]-\infty;-5\right] et [−3;+∞[\left[-3;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x+4∣≥1⇔x∈]−∞;−5]∪[−3;+∞[\left|x+4\right|\ge 1\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-5\right]\cup\left[-3;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x+4∣≥1\left|x+4\right|\ge 1 que l'on peut écrire ∣x−(−4)∣≥1\left|x-\left({\color{red}-4}\right)\right|\ge {\color{blue}1} est équivalent à : x∈]−∞;−4−1]∪[−4+1;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}-4}-{\color{blue}1}\right]\cup \left[{\color{red}-4}+{\color{blue}1};+\infty \right[
Finalement :
∣x+4∣≥1⇔x∈]−∞;−5]∪[−3;+∞[\left|x+4\right|\ge 1 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-5\right]\cup \left[-3;+\infty \right[ .

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