Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≥r et ∣x−a∣>r
Exercice 1
1
Ecrire
∣x−3∣≥4 à l'aide d'un intervalle.
Pour tous nombres réels
a et
r , avec
r un réel positif alors :
- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
On a donc :
∣x−3∣≥4 est équivalent à :
x∈]−∞;3−4]∪[3+4;+∞[Finalement :
∣x−3∣≥4⇔x∈]−∞;−1]∪[7;+∞[ .
2
Ecrire
∣x−1∣≥8 à l'aide d'un intervalle.
Pour tous nombres réels
a et
r , avec
r un réel positif alors :
- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
On a donc :
∣x−1∣≥8 est équivalent à :
x∈]−∞;1−8]∪[1+8;+∞[Finalement :
∣x−1∣≥6⇔x∈]−∞;−7]∪[9;+∞[ .
3
Ecrire
∣x+2∣≥5 à l'aide d'un intervalle.
Pour tous nombres réels
a et
r , avec
r un réel positif alors :
- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
On a donc :
∣x+2∣≥5 que l'on peut écrire
∣x−(−2)∣≥5 est équivalent à :
x∈]−∞;−2−5]∪[−2+5;+∞[Finalement :
∣x+2∣≥5⇔x∈]−∞;−7]∪[3;+∞[ .