Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≥r\left|x-a\right|\ge r et ∣x−a∣>r\left|x-a\right|> r - Exercice 1

3 min
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Question 1

Ecrire ∣x−3∣≥4\left|x-3\right|\ge 4 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 33 est supérieure ou égale à 44.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] et [7;+∞[\left[7;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x−3∣≥4⇔x∈]−∞;−1]∪[7;+∞[\left|x-3\right|\ge 4\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-1\right]\cup\left[7;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x−3∣≥4\left|x-{\color{red}3}\right|\ge {\color{blue}4} est équivalent à : x∈]−∞;3−4]∪[3+4;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}3}-{\color{blue}4}\right]\cup \left[{\color{red}3}+{\color{blue}4};+\infty \right[
Finalement :
∣x−3∣≥4⇔x∈]−∞;−1]∪[7;+∞[\left|x-3\right|\ge 4 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right]\cup \left[7;+\infty \right[ .
Question 2

Ecrire ∣x−1∣≥8\left|x-1\right|\ge 8 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 11 est supérieure ou égale à 88.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−7]\left]-\infty;-7\right] et [9;+∞[\left[9;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x−1∣≥8⇔x∈]−∞;−7]∪[9;+∞[\left|x-1\right|\ge 8\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-7\right]\cup\left[9;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x−1∣≥8\left|x-{\color{red}1}\right|\ge {\color{blue}8} est équivalent à : x∈]−∞;1−8]∪[1+8;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}1}-{\color{blue}8}\right]\cup \left[{\color{red}1}+{\color{blue}8};+\infty \right[
Finalement :
∣x−1∣≥8⇔x∈]−∞;−7]∪[9;+∞[\left|x-1\right|\ge 8 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-7\right]\cup \left[9;+\infty \right[ .
Question 3

Ecrire ∣x+2∣≥5\left|x+2\right|\ge 5 à l'aide d'un intervalle.

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
On écrit d'abord ∣x+2∣=∣x−(−2)∣\left|x+2\right|=\left|x-\left(-2\right)\right| : c'est la distance de xx à −2-2.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à −2-2 est supérieure ou égale à 55.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc les intervalles ]−∞;−7]\left]-\infty;-7\right] et [3;+∞[\left[3;+\infty\right[.
Ainsi : ∣x+2∣≥5⇔x∈]−∞;−7]∪[3;+∞[\left|x+2\right|\ge 5\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-7\right]\cup\left[3;+\infty\right[

Meˊthode 2 : avec la proprieˊteˊ du cours\purple{\text{Méthode 2 : avec la propriété du cours}}
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣≥r\left|x-{\color{red}a}\right|\ge {\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right]\cup \left[{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
  • ∣x−a∣>r\left|x-{\color{red}a}\right|>{\color{blue}r} est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}a}-{\color{blue}r}\right[\cup \left]{\color{red}a}+{\color{blue}r};+\infty \right[
On a donc : ∣x+2∣≥5\left|x+2\right|\ge 5 que l'on peut écrire ∣x−(−2)∣≥5\left|x-\left({\color{red}-2}\right)\right|\ge {\color{blue}5} est équivalent à : x∈]−∞;−2−5]∪[−2+5;+∞[x\in \left]-\infty ;{\color{red}-2}-{\color{blue}5}\right]\cup \left[{\color{red}-2}+{\color{blue}5};+\infty \right[
Finalement :
∣x+2∣≥5⇔x∈]−∞;−7]∪[3;+∞[\left|x+2\right|\ge 5 \Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-7\right]\cup \left[3;+\infty \right[ .

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