Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme ∣x−a∣≥r et ∣x−a∣>r
Exercice 1
1
Ecrire ∣x−3∣≥4 à l'aide d'un intervalle.
Correction
Pour tous nombres réels a et r , avec r un réel positif alors :
On a donc : ∣x−3∣≥4 est équivalent à : x∈]−∞;3−4]∪[3+4;+∞[- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
Finalement :
∣x−3∣≥4⇔x∈]−∞;−1]∪[7;+∞[ .
2
Ecrire ∣x−1∣≥8 à l'aide d'un intervalle.
Correction
Pour tous nombres réels a et r , avec r un réel positif alors :
On a donc : ∣x−1∣≥8 est équivalent à : x∈]−∞;1−8]∪[1+8;+∞[- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
Finalement :
∣x−1∣≥6⇔x∈]−∞;−7]∪[9;+∞[ .
3
Ecrire ∣x+2∣≥5 à l'aide d'un intervalle.
Correction
Pour tous nombres réels a et r , avec r un réel positif alors :
On a donc : ∣x+2∣≥5 que l'on peut écrire ∣x−(−2)∣≥5 est équivalent à : x∈]−∞;−2−5]∪[−2+5;+∞[- ∣x−a∣≥r est équivalent à x∈]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
- ∣x−a∣>r est équivalent à x∈]−∞;a−r[∪]a+r;+∞[
Finalement :
∣x+2∣≥5⇔x∈]−∞;−7]∪[3;+∞[ .
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