Valeur absolue : savoir résoudre les équations de la forme ∣x∣=b\left|x\right|=b et ∣x−a∣=b\left|x-a\right|=b - Exercice 1

12 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

∣x∣=2\left|x\right|=2

Correction
∣x∣=∣x−0∣\left|x\right|=\left|x-0\right| est la distance de xx à 00.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 00 est égale à 22.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc comme solutions −2-2 et 22.
S={−2;2}S=\left\{-2;2\right\}
Question 2

∣x−5∣=12\left|x-5\right|=12

Correction
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 55 est égale à 1212.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc comme solutions −7-7 et 1717.
S={−7;17}S=\left\{-7;17\right\}
Question 3

∣2x−6∣=4\left|2x-6\right|=4

Correction
Meˊthode 1 : avec la distance\purple{\text{Méthode 1 : avec la distance}}
On factorise par 22 : ∣2x−6∣=∣2(x−3)∣=2∣x−3∣\left|2x-6\right|=\left|2\left(x-3\right)\right|=2\left|x-3\right|.
L'équation devient 2∣x−3∣=42\left|x-3\right|=4, c'est-à-dire ∣x−3∣=2\left|x-3\right|=2.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à 33 est égale à 22.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc comme solutions 11 et 55.
S={1;5}S=\left\{1;5\right\}

Meˊthode 2 : par le calcul\purple{\text{Méthode 2 : par le calcul}}
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣2x−6∣=4\left|2x-6\right|=4 équivaut successivement à :
2x−6=42x-6=4 ou 2x−6=−42x-6=-4
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
2x−6=42x-6=4
2x=4+62x=4+6
2x=102x=10
x=102x=\frac{10}{2}
x=5x=5
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
2x−6=−42x-6=-4
2x=−4+62x=-4+6
2x=22x=2
x=22x=\frac{2}{2}
x=1x=1
Les solutions de l'équation ∣2x−6∣=4\left|2x-6\right|=4 est :
S={1;5}S=\left\{1;5\right\}
Question 4

∣x∣=−9\left|x\right|=-9

Correction
ATTENTION\red{\text{ATTENTION}}
∣x∣\left|x\right| est la distance de xx à 00 : une distance est toujours positive ou nulle.
Elle ne peut donc jamais être égale à −9-9.
Aucun réel ne vérifie ∣x∣=−9\left|x\right|=-9 : l'équation n'a pas de solution.
S=∅S=\varnothing
Question 5

∣x+2∣=3\left|x+2\right|=3

Correction
On écrit d'abord ∣x+2∣=∣x−(−2)∣\left|x+2\right|=\left|x-\left(-2\right)\right| : c'est la distance de xx à −2-2.
Il faut donc déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la distance de xx à −2-2 est égale à 33.
On s'aide de la représentation ci-dessous :
Graphiquement, nous trouvons donc comme solutions −5-5 et 11.
S={−5;1}S=\left\{-5;1\right\}

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