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Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Valeur absolue : savoir résoudre les équations de la forme
∣
x
∣
=
b
\left|x\right|=b
∣
x
∣
=
b
et
∣
x
−
a
∣
=
b
\left|x-a\right|=b
∣
x
−
a
∣
=
b
- Exercice 1
12 min
20
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les équations suivantes :
∣
x
∣
=
2
\left|x\right|=2
∣
x
∣
=
2
Correction
Soit
a
a
a
un réel positif alors :
∣
x
∣
=
a
\left|x\right|= {\color{blue}a}
∣
x
∣
=
a
est équivalent à
x
=
a
x={\color{blue}a}
x
=
a
ou
x
=
−
a
x=-{\color{blue}a}
x
=
−
a
∣
x
∣
=
2
\left|x\right|=2
∣
x
∣
=
2
équivaut successivement à :
x
=
2
x=2
x
=
2
ou
x
=
−
2
x=-2
x
=
−
2
Les solutions de l'équation
∣
x
∣
=
2
\left|x\right|=2
∣
x
∣
=
2
est :
S
=
{
−
2
;
2
}
S=\left\{-2;2\right\}
S
=
{
−
2
;
2
}
Question 2
∣
x
−
5
∣
=
12
\left|x-5\right|=12
∣
x
−
5
∣
=
12
Correction
Soit
a
a
a
un réel positif alors :
∣
x
∣
=
a
\left|x\right|= {\color{blue}a}
∣
x
∣
=
a
est équivalent à
x
=
a
x={\color{blue}a}
x
=
a
ou
x
=
−
a
x=-{\color{blue}a}
x
=
−
a
∣
x
−
5
∣
=
12
\left|x-5\right|=12
∣
x
−
5
∣
=
12
équivaut successivement à :
x
−
5
=
12
x-5=12
x
−
5
=
12
ou
x
−
5
=
−
12
x-5=-12
x
−
5
=
−
12
R
e
ˊ
solvons d’une part :
\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
R
e
ˊ
solvons d’une part :
x
−
5
=
12
x-5=12
x
−
5
=
12
x
=
12
+
5
x=12+5
x
=
12
+
5
x
=
17
x=17
x
=
17
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
x
−
5
=
−
12
x-5=-12
x
−
5
=
−
12
x
=
−
12
+
5
x=-12+5
x
=
−
12
+
5
x
=
−
7
x=-7
x
=
−
7
Les solutions de l'équation
∣
x
−
5
∣
=
12
\left|x-5\right|=12
∣
x
−
5
∣
=
12
est :
S
=
{
−
7
;
17
}
S=\left\{-7;17\right\}
S
=
{
−
7
;
17
}
Question 3
∣
2
x
−
6
∣
=
4
\left|2x-6\right|=4
∣
2
x
−
6
∣
=
4
Correction
Soit
a
a
a
un réel positif alors :
∣
x
∣
=
a
\left|x\right|= {\color{blue}a}
∣
x
∣
=
a
est équivalent à
x
=
a
x={\color{blue}a}
x
=
a
ou
x
=
−
a
x=-{\color{blue}a}
x
=
−
a
∣
2
x
−
6
∣
=
4
\left|2x-6\right|=4
∣
2
x
−
6
∣
=
4
équivaut successivement à :
2
x
−
6
=
4
2x-6=4
2
x
−
6
=
4
ou
2
x
−
6
=
−
4
2x-6=-4
2
x
−
6
=
−
4
R
e
ˊ
solvons d’une part :
\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
R
e
ˊ
solvons d’une part :
2
x
−
6
=
4
2x-6=4
2
x
−
6
=
4
2
x
=
4
+
6
2x=4+6
2
x
=
4
+
6
2
x
=
10
2x=10
2
x
=
10
x
=
10
2
x=\frac{10}{2}
x
=
2
10
x
=
5
x=5
x
=
5
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
2
x
−
6
=
−
4
2x-6=-4
2
x
−
6
=
−
4
2
x
=
−
4
+
6
2x=-4+6
2
x
=
−
4
+
6
2
x
=
2
2x=2
2
x
=
2
x
=
2
2
x=\frac{2}{2}
x
=
2
2
x
=
1
x=1
x
=
1
Les solutions de l'équation
∣
x
−
5
∣
=
12
\left|x-5\right|=12
∣
x
−
5
∣
=
12
est :
S
=
{
1
;
5
}
S=\left\{1;5\right\}
S
=
{
1
;
5
}
Question 4
∣
x
∣
=
−
9
\left|x\right|=-9
∣
x
∣
=
−
9
Correction
Une valeur absolue ne peut donc pas
e
ˆ
tre
e
ˊ
gale
a
ˋ
un nombre n
e
ˊ
gatif .
\red{\text{Une valeur absolue ne peut donc pas être égale à un nombre négatif .}}
Une valeur absolue ne peut donc pas
e
ˆ
tre
e
ˊ
gale
a
ˋ
un nombre n
e
ˊ
gatif .
En effet, nous rappelons qu'une valeur absolue est positive ou nulle .
L'équation
∣
x
∣
=
−
9
\left|x\right|=-9
∣
x
∣
=
−
9
n'a donc pas de solution.
Question 5
∣
x
+
2
∣
=
3
\left|x+2\right|=3
∣
x
+
2
∣
=
3
Correction
Soit
a
a
a
un réel positif alors :
∣
x
∣
=
a
\left|x\right|= {\color{blue}a}
∣
x
∣
=
a
est équivalent à
x
=
a
x={\color{blue}a}
x
=
a
ou
x
=
−
a
x=-{\color{blue}a}
x
=
−
a
∣
x
+
2
∣
=
3
\left|x+2\right|=3
∣
x
+
2
∣
=
3
équivaut successivement à :
x
+
2
=
3
x+2=3
x
+
2
=
3
ou
x
+
2
=
−
3
x+2=-3
x
+
2
=
−
3
R
e
ˊ
solvons d’une part :
\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
R
e
ˊ
solvons d’une part :
x
+
2
=
3
x+2=3
x
+
2
=
3
x
=
3
−
2
x=3-2
x
=
3
−
2
x
=
1
x=1
x
=
1
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
x
+
2
=
−
3
x+2=-3
x
+
2
=
−
3
x
=
−
3
−
2
x=-3-2
x
=
−
3
−
2
x
=
−
5
x=-5
x
=
−
5
Les solutions de l'équation
∣
x
+
2
∣
=
3
\left|x+2\right|=3
∣
x
+
2
∣
=
3
est :
S
=
{
−
5
;
1
}
S=\left\{-5;1\right\}
S
=
{
−
5
;
1
}