Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Valeur absolue : savoir résoudre les équations de la forme ∣x∣=b et ∣x−a∣=b
Exercice 1
COMPETENCES:Calculer
Résoudre dans R les équations suivantes :
1
∣x∣=2
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x∣=2 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x=2 ou x=−2
Les solutions de l'équation ∣x∣=2 est :
S={−2;2}
2
∣x−5∣=12
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x−5∣=12 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x−5=12 ou x−5=−12
Reˊsolvons d’une part :
x−5=12
x=12+5
x=17
Reˊsolvons d’autre part :
x−5=−12
x=−12+5
x=−7
Les solutions de l'équation ∣x−5∣=12 est :
S={−7;17}
3
∣2x−6∣=4
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣2x−6∣=4 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
2x−6=4 ou 2x−6=−4
Reˊsolvons d’une part :
2x−6=4
2x=4+6
2x=10
x=210
x=5
Reˊsolvons d’autre part :
2x−6=−4
2x=−4+6
2x=2
x=22
x=1
Les solutions de l'équation ∣x−5∣=12 est :
S={1;5}
4
∣x∣=−9
Correction
- Une valeur absolue ne peut donc pas eˆtre eˊgale aˋ un nombre neˊgatif .
- En effet, nous rappelons qu'une valeur absolue et positive ou nulle .
5
∣x+2∣=3
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x+2∣=3 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x+2=3 ou x+2=−3
Reˊsolvons d’une part :
x+2=3
x=3−2
x=1
Reˊsolvons d’autre part :
x+2=−3
x=−3−2
x=−5
Les solutions de l'équation ∣x+2∣=3 est :
S={−5;1}
Exercice 2
COMPETENCES:Calculer
Résoudre dans R les équations suivantes :
1
∣x−8∣=1
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x−8∣=1 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x−8=1 ou x−8=−1
Reˊsolvons d’une part :
x−8=1
x=1+8
x=9
Reˊsolvons d’autre part :
x−8=−1
x=−1+8
x=7
Les solutions de l'équation ∣x−8∣=1 est :
S={7;9}
2
∣3x−8∣=7
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣3x−8∣=7 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
3x−8=7 ou 3x−8=−7
Reˊsolvons d’une part :
3x−8=7
3x=8+7
3x=15
x=315
x=5
Reˊsolvons d’autre part :
3x−8=−7
3x=−7+8
3x=1
x=31
Les solutions de l'équation ∣3x−8∣=7 est :
S={31;5}
3
∣x∣=6
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x∣=6 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x=6 ou x=−6
Les solutions de l'équation ∣x∣=6 est :
S={−6;6}
4
∣x+11∣=4
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣x+11∣=4 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
x+11=4 ou x+11=−4
Reˊsolvons d’une part :
x+11=4
x=4−11
x=−7
Reˊsolvons d’autre part :
x+11=−4
x=−4−11
x=−15
Les solutions de l'équation ∣x+11∣=4 est :
S={−15;−7}
5
∣4x+10∣=6
Correction
Soit a un réel positif alors :
∣4x+10∣=6 équivaut successivement à : - ∣x∣=a est équivalent à x=a ou x=−a
4x+10=6 ou 4x+10=−6
Reˊsolvons d’une part :
4x+10=6
4x=6−10
4x=−4
x=−44
x=−1
Reˊsolvons d’autre part :
4x+10=−6
4x=−6−10
4x=−16
x=−416
x=−4
Les solutions de l'équation ∣4x+10∣=6 est :
S={−4;−1}
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