Valeur absolue et intervalles : problèmes concrets - Exercice 2

10 min
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La température TT, en °C, à l'intérieur d'un réfrigérateur doit rester comprise entre 22 °C et 66 °C.
Question 1

Déterminer le centre et le rayon de l'intervalle [2;6]\left[2;6\right].

Correction
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} calcul du centre a{\color{red}a}
a=2+62=82{\color{red}a}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}, soit
a=4{\color{red}a}=4

Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} calcul du rayon r{\color{blue}r}
La distance entre 22 et 66 vaut ∣2−6∣=∣−4∣=4\left|2-6\right|=\left|-4\right|=4. Le rayon est la moitié de cette distance : r=42{\color{blue}r}=\frac{4}{2}, soit
r=2{\color{blue}r}=2
Question 2

Traduire la condition « T∈[2;6]T\in\left[2;6\right] » à l'aide d'une valeur absolue.

Correction
Pour tous nombres réels a{\color{red}a} et r{\color{blue}r}, avec r{\color{blue}r} un réel positif :
  • ∣x−a∣≤r\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à a−r≤x≤a+r{\color{red}a}-{\color{blue}r}\le x\le {\color{red}a}+{\color{blue}r}, c'est-à-dire à x∈[a−r;a+r]x\in\left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right].
∣x−a∣\left|x-{\color{red}a}\right| est la distance entre xx et a{\color{red}a} : l'intervalle a pour centre a{\color{red}a} et pour rayon r{\color{blue}r}.
Avec le centre 4{\color{red}4} et le rayon 2{\color{blue}2} trouvés à la question précédente :
T∈[2;6]⇔∣T−4∣≤2T\in\left[2;6\right]\Leftrightarrow \left|T-{\color{red}4}\right|\le {\color{blue}2}
Question 3

Le thermomètre du réfrigérateur indique 6,56{,}5 °C. La température est-elle correcte ?

Correction
∣6,5−4∣=2,5\left|6{,}5-4\right|=2{,}5 et 2,5>22{,}5\gt 2 : la température est trop éloignée de 44 °C.
La température n'est pas correcte : il fait 0,50{,}5 °C de trop dans le réfrigérateur.

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