Valeur absolue et intervalles : problèmes concrets - Exercice 1

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Une machine fabrique des axes dont le diamètre doit être de 1212 mm. Un axe est accepté si son diamètre dd, en mm, vérifie ∣d−12∣≤0,05\left|d-12\right|\le 0{,}05.
Question 1

Traduire cette condition par un encadrement de dd, puis par un intervalle. Que représentent les nombres 1212 et 0,050{,}05 ?

Correction
Pour tous nombres réels a{\color{red}a} et r{\color{blue}r}, avec r{\color{blue}r} un réel positif :
  • ∣x−a∣≤r\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r} est équivalent à a−r≤x≤a+r{\color{red}a}-{\color{blue}r}\le x\le {\color{red}a}+{\color{blue}r}, c'est-à-dire à x∈[a−r;a+r]x\in\left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right].
∣x−a∣\left|x-{\color{red}a}\right| est la distance entre xx et a{\color{red}a} : l'intervalle a pour centre a{\color{red}a} et pour rayon r{\color{blue}r}.
Ici a=12{\color{red}a}={\color{red}12} et r=0,05{\color{blue}r}={\color{blue}0{,}05} :
∣d−12∣≤0,05⇔12−0,05≤d≤12+0,05⇔11,95≤d≤12,05\left|d-12\right|\le 0{,}05\Leftrightarrow 12-0{,}05\le d\le 12+0{,}05\Leftrightarrow 11{,}95\le d\le 12{,}05
d∈[11,95;12,05]d\in\left[11{,}95;12{,}05\right]

Le nombre 1212 est le diamètre visé : c'est le centre de l'intervalle. Le nombre 0,050{,}05 est l'écart maximal autorisé, appelé tolérance : c'est le rayon de l'intervalle.
Question 2

On a mesuré quatre axes : 11,9711{,}97 mm ; 12,0612{,}06 mm ; 11,9511{,}95 mm et 12,04912{,}049 mm. Lesquels sont acceptés ?

Correction
On calcule la distance entre chaque diamètre et 1212 :
  • ∣11,97−12∣=∣−0,03∣=0,03≤0,05\left|11{,}97-12\right|=\left|-0{,}03\right|=0{,}03\le 0{,}05 : l'axe est accepté ;
  • ∣12,06−12∣=0,06>0,05\left|12{,}06-12\right|=0{,}06\gt 0{,}05 : l'axe est refusé ;
  • ∣11,95−12∣=∣−0,05∣=0,05≤0,05\left|11{,}95-12\right|=\left|-0{,}05\right|=0{,}05\le 0{,}05 : l'axe est accepté (la borne 11,9511{,}95 fait partie de l'intervalle) ;
  • ∣12,049−12∣=0,049≤0,05\left|12{,}049-12\right|=0{,}049\le 0{,}05 : l'axe est accepté.
    • Les axes de 11,9711{,}97 mm, 11,9511{,}95 mm et 12,04912{,}049 mm sont acceptés ; celui de 12,0612{,}06 mm est refusé.

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