Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Valeur absolue - Exercice 1

15 min
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Question 1
Ecrire les nombres suivants sans le symbole valeur absolue.

∣7∣\left|7\right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que 7>07>0 ainsi ∣7∣=7\left|7\right|=7
Question 2

∣−5∣\left|-5\right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que −5<0-5<0 ainsi :
∣−5∣=−(−5)\left|{\color{blue}-5}\right|=-\left({\color{blue}-5}\right)
∣−5∣=5\left|{\color{blue}-5}\right|=5
Question 3

∣10∣\left|10\right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que 10>010>0 ainsi ∣10∣=10\left|10\right|=10
Question 4

∣−9∣\left|-9\right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que −9<0-9<0 ainsi :
∣−9∣=−(−9)\left|{\color{blue}-9}\right|=-\left({\color{blue}-9}\right)
∣−9∣=9\left|{\color{blue}-9}\right|=9
Question 5

∣−13∣\left|-\sqrt{13} \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que −13<0-\sqrt{13}<0 ainsi :
∣−13∣=−(−13)\left|{\color{blue}-\sqrt{13}}\right|=-\left({\color{blue}-\sqrt{13}}\right)
∣−13∣=13\left|{\color{blue}-\sqrt{13}}\right|=\sqrt{13}
Question 6

∣(−5)2∣\left|\sqrt{\left(-5\right)^{2} } \right|

Correction
Nous savons qu'un carré est positif ou nul. Ainsi : (−5)2=52=25\left(-5\right)^{2}=5^{2}=25
D'où : ∣(−5)2∣=∣25∣\left|\sqrt{\left(-5\right)^{2} } \right|=\left|\sqrt{25 } \right|
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que 25>025>0 ainsi ∣(−5)2∣=∣25∣=25=5\left|\sqrt{\left(-5\right)^{2} } \right|=\left|\sqrt{25 } \right|=\sqrt{25 }=5
Question 7

∣1+2∣\left|1+\sqrt{2} \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Nous savons que 1+2>01+\sqrt{2}>0 ainsi ∣1+2∣=1+2\left|1+\sqrt{2}\right|=1+\sqrt{2}
Question 8

∣1−8∣\left|1-\sqrt{8} \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
A l'aide de la calculatrice, on vérifie que : 1−8≈−1,881-\sqrt{8}\approx-1,88 .
On peut aussi dire, sans calculatrice, que 8>4\sqrt{8}>\sqrt{4} c'est à dire que 8>2\sqrt{8}>2 .
Ainsi : 1−8<01-\sqrt{8}<0 . Il vient alors que :
∣1−8∣=−(1−8)\left|{\color{blue}1-\sqrt{8}}\right|=-\left({\color{blue}1-\sqrt{8}}\right)
∣1−8∣=−1+8\left|{\color{blue}1-\sqrt{8}}\right|=-1+\sqrt{8}
Question 9

∣11−7∣\left|\sqrt{11}-\sqrt{7} \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
A l'aide de la calculatrice, on vérifie que : 11−7≈0,48\sqrt{11}-\sqrt{7}\approx0,48 .
Ainsi : 11−7>0\sqrt{11}-\sqrt{7}>0 . Il vient alors que :
∣11−7∣=11−7\left|\sqrt{11}-\sqrt{7}\right|=\sqrt{11}-\sqrt{7}
Question 10

∣3,14−π∣\left|3,14-\pi \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
Vous devez connaitre une approximation de la valeur π\pi. On sait que : π≈3,1415\pi \approx 3,1415 .
Ainsi : 3,14−π<03,14-\pi<0 . Il vient alors que :
∣3,14−π∣=−(3,14−π)\left|{\color{blue}3,14-\pi}\right|=-\left({\color{blue}3,14-\pi}\right)
∣3,14−π∣=−3,14+π\left|{\color{blue}3,14-\pi}\right|=-3,14+\pi
Question 11

∣−7−π∣\left|-7-\pi \right|

Correction
Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
On vérifie aiséement que : −7−π<0-7-\pi<0 . Il vient alors que :
∣−7−π∣=−(−7−π)\left|{\color{blue}-7-\pi}\right|=-\left({\color{blue}-7-\pi}\right)
∣−7−π∣=7+π\left|{\color{blue}-7-\pi}\right|=7+\pi