Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Savoir manipuler des inégalités - Exercice 2
10 min
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Question 1
Soient x et y des nombres réels tels que x≤4 et y≤6 . Démontrer que 2x+3y≤24 .
Correction
Soient a, b, c et d des réels alors :
Si a≤betc≤dalorsa+c≤b+d
D'une part : x≤4 alors 2x≤8 D'autre part : y≤6 alors 3y≤18 Ainsi : 2x≤8et3y≤18alors2x+3y≤8+18 Il en résulte donc que :
2x+3y≤24
Question 2
Soient x et y des nombres réels tels que x≤21 et y≤3 . Démontrer que 4x+5y≤17 .
Correction
Soient a, b, c et d des réels alors :
Si a≤betc≤dalorsa+c≤b+d
D'une part : x≤21 alors 4x≤2 D'autre part : y≤3 alors 5y≤15 Ainsi : 4x≤2et5y≤15alors4x+5y≤2+15 Il en résulte donc que :
4x+5y≤17
Question 3
Soient x et y des nombres réels tels que x≤2 et y≥−5 . Démontrer que 3x−7y≤41 .
Correction
Soient a, b, c et d des réels alors :
Si a≤betc≤dalorsa+c≤b+d
D'une part : x≤2 alors 3x≤6 D'autre part : y≥−5 alors −7y≤−7×(−5) . Ici nous avons changé le sens de l'inégalité car nous avons multiplié par un nombre négatif . D'où : −7y≤35 . Ainsi : 3x≤6et−7y≤35alors3x+(−7y)≤6+35 Il en résulte donc que :