Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Savoir manipuler des inégalités - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soient xx et yy des nombres réels tels que x4x\le 4 et y6y\le 6 . Démontrer que 2x+3y242x+3y\le 24 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si ab{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} cd {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+cb+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x4x\le 4 alors 2x82x\le 8
D'autre part : y6y\le 6 alors 3y183y\le 18
Ainsi :
2x8{\color{red}2x} \le {\color{blue}8} et \text{et} 3y18 {\color{purple}3y}\le {\color{green}18} alors\text{alors} 2x+3y8+18{\color{red}2x}+{\color{purple}3y}\le {\color{blue}8}+{\color{green}18}
Il en résulte donc que :
2x+3y242x+3y\le24
Question 2

Soient xx et yy des nombres réels tels que x12x\le \frac{1}{2} et y3y\le 3 . Démontrer que 4x+5y174x+5y\le 17 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si ab{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} cd {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+cb+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x12x\le \frac{1}{2} alors 4x24x\le 2
D'autre part : y3y\le 3 alors 5y155y\le 15
Ainsi :
4x2{\color{red}4x} \le {\color{blue}2} et \text{et} 5y15 {\color{purple}5y}\le {\color{green}15} alors\text{alors} 4x+5y2+15{\color{red}4x}+{\color{purple}5y}\le {\color{blue}2}+{\color{green}15}
Il en résulte donc que :
4x+5y174x+5y\le 17
Question 3

Soient xx et yy des nombres réels tels que x2x\le 2 et y5y\ge -5 . Démontrer que 3x7y413x-7y\le 41 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si ab{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} cd {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+cb+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x2x\le 2 alors 3x63x\le 6
D'autre part : y5y\ge -5 alors 7y7×(5)-7y\le -7\times \left(-5\right) . Ici nous avons changé le sens de l'inégalité car nous avons multiplié par un nombre négatif . D'où : 7y35-7y\le 35 .
Ainsi :
3x6{\color{red}3x} \le {\color{blue}6} et \text{et} 7y35 {\color{purple}-7y}\le {\color{green}35} alors\text{alors} 3x+(7y)6+35{\color{red}3x}+\left({\color{purple}-7y}\right)\le {\color{blue}6}+{\color{green}35}
Il en résulte donc que :
3x7y413x-7y\le 41