Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Exercices types sur la valeur absolue - Exercice 1

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Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

3∣x∣+6=03\left|x\right|+6=0

Correction
3∣x∣+6=03\left|x\right|+6=0
3∣x∣=−63\left|x\right|=-6
∣x∣=−63\left|x\right|=\frac{-6}{3}
∣x∣=−2\left|x\right|=-2
on rappelle que la valeur absolue d'un nombre est un réel positif ou nul. Il en résulte donc que ∣x∣≥0\left|x\right| \ge 0 . Or −2<0-2<0
Il en résulte donc que l'équation ∣x∣=−2\left|x\right|=-2 n'admet donc pas de solution.
  • Une valeur absolue ne peut donc pas eˆtre eˊgale aˋ un nombre neˊgatif .\red{\text{Une valeur absolue ne peut donc pas être égale à un nombre négatif .}}
  • En effet, nous rappelons qu'une valeur absolue et positive ou nulle .
Question 2

∣3x+2∣=14\left|3x+2\right|=14

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣3x+2∣=14\left|3x+2\right|=14 équivaut successivement à :
3x+2=143x+2=14 ou 3x+2=−143x+2=-14
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
3x+2=143x+2=14
3x=14−23x=14-2
3x=123x=12
x=123x=\frac{12}{3}
x=4x=4
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
3x+2=−143x+2=-14
3x=−14−23x=-14-2
x=−16x=-16
x=−163x=\frac{-16}{3}
Les solutions de l'équation ∣3x+2∣=14\left|3x+2\right|=14 est :
S={−163;4}S=\left\{-\frac{16}{3};4\right\}