Exercices types : $$5$$^ème partie (démonstrations du cours) - Exercice 3

On divise $$1$$ par $$7$$ : à chaque étape, on multiplie le reste par $$10$$ et on divise le nombre obtenu par $$7$$.
À la sixième étape, on retrouve le reste $$1$$, celui du départ : les mêmes calculs recommencent, et les chiffres $$1$$, $$4$$, $$2$$, $$8$$, $$5$$, $$7$$ se répètent.

Ce n'est pas un hasard : dans une division par $$7$$, le reste ne peut prendre que les valeurs $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$ et $$6$$ (il n'est jamais nul, car $$7$$ ne divise aucune puissance de $$10$$). Au bout de $$6$$ étapes au plus, un reste revient forcément.

$$100x=27{,}2727\ldots$$
$$100x-x=27{,}2727\ldots-0{,}2727\ldots=27$$
$$99x=27$$
$$x=\frac{27}{99}=\frac{3\times 9}{11\times 9}$$

Vérification à la calculatrice : $$3\div 11=0{,}272727\ldots$$

$$10y=12{,}333\ldots$$ et $$100y=123{,}333\ldots$$
$$100y-10y=123{,}333\ldots-12{,}333\ldots=111$$
$$90y=111$$
$$y=\frac{111}{90}=\frac{37\times 3}{30\times 3}$$

Vérification à la calculatrice : $$37\div 30=1{,}2333\ldots$$