Exercices types : 55ème partie (démonstrations du cours) - Exercice 2

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Le but de cet exercice est de démontrer que 2\sqrt{2}, la longueur de la diagonale d'un carré de côté 11, est un nombre irrationnel.
Question 1

Soit nn un entier naturel impair. Montrer que n2n^{2} est impair.

Correction
Un entier nn est pair s'il existe un entier kk tel que n=2kn=2k ; il est impair s'il existe un entier kk tel que n=2k+1n=2k+1.
Comme nn est impair, il existe un entier kk tel que n=2k+1n=2k+1.
n2=(2k+1)2n^{2}=\left(2k+1\right)^{2}
n2=4k2+4k+1n^{2}=4k^{2}+4k+1
n2=2(2k2+2k)+1n^{2}=2\left(2k^{2}+2k\right)+1
Or 2k2+2k2k^{2}+2k est un entier. Ainsi :
n2n^{2} est impair.
Question 2

En déduire que, si n2n^{2} est pair, alors nn est pair.

Correction
On suppose que n2n^{2} est pair.
Si nn était impair, alors n2n^{2} serait impair d'après la question 1 : c'est impossible.
Donc :
si n2n^{2} est pair, alors nn est pair.
Question 3

On raisonne par l'absurde : on suppose que 2\sqrt{2} est rationnel. On peut alors écrire 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q}, avec pp et qq des entiers naturels non nuls et la fraction pq\frac{p}{q} irréductible. Montrer que p2=2q2p^{2}=2q^{2}, puis que pp est pair.

Correction
On élève au carré l'égalité 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q} :
2=p2q22=\frac{p^{2}}{q^{2}}
p2=2q2p^{2}=2q^{2}

Comme q2q^{2} est un entier, p2p^{2} est le double d'un entier : p2p^{2} est pair.
D'après la question 2 :
pp est pair.
Question 4

On écrit p=2kp=2k, avec kk un entier. Montrer que qq est pair, puis conclure.

Correction
On remplace pp par 2k2k dans l'égalité p2=2q2p^{2}=2q^{2} :
(2k)2=2q2\left(2k\right)^{2}=2q^{2}
4k2=2q24k^{2}=2q^{2}
q2=2k2q^{2}=2k^{2}
Donc q2q^{2} est pair et, d'après la question 2, qq est pair.
Ainsi pp et qq sont tous les deux pairs : la fraction pq\frac{p}{q} peut se simplifier par 22. C'est une contradiction, car elle est irréductible.
Finalement, l'hypothèse de départ est fausse :
2\sqrt{2} est un nombre irrationnel.

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