Exercices types : $5$ ^ème partie (démonstrations du cours) - Exercice 1

10 min

Le but de cet exercice est de démontrer que le nombre rationnel

\frac{1}{3}

n'est pas un nombre décimal. On raisonne par l'absurde : on suppose que

\frac{1}{3}

est un nombre décimal.

Question 1

Justifier qu'il existe alors un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que $10^{n}=3a$ .

Correction

Les nombres décimaux sont les nombres de la forme

\frac{a}{10^{n}}

, où

a

est un entier relatif et

n

un entier naturel.

Comme

\frac{1}{3}

est supposé décimal, il existe un entier

a

et un entier naturel

n

tels que :

\frac{1}{3}=\frac{a}{10^{n}}

Soient

A

C

deux réels et soient

B

D

deux réels non nuls :

\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C

Ainsi :

1\times 10^{n}=3\times a

, c'est-à-dire :

10^{n}=3a

Question 2

Correction

Comme

a

est un entier, l'égalité

10^{n}=3a

signifie que

10^{n}

est un multiple de

3

Un nombre entier est divisible par

3

si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par

3

10^{n}

s'écrit avec un

1

suivi de

n

zéros : la somme de ses chiffres est égale à

1

, qui n'est pas divisible par

3

.
Donc

10^{n}

n'est pas un multiple de

3

: c'est une contradiction.
Finalement, l'hypothèse de départ est fausse :

\frac{1}{3}

n'est pas un nombre décimal.

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