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Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Exercices types : 44ème partie (démonstration à l'aide d'un raisonnement par l'absurde) - Exercice 1

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Question 1

Démontrons que le nombre rationnel 19\frac{1}{9} n'est pas un décimal. (On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde).

Correction
Nous allons répondre à cette question par un raisonnement par l'absurde.
Supposons que 19\frac{1}{9} est un décimal.
  • L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\frac{a}{10^{n}}, où aa est un entier et nn un entier naturel.
  • Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.
L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\frac{a}{10^{n}}, où aa est un entier et nn un entier naturel.
Cela signifie que : 19=a10n\frac{1}{9}=\frac{a}{10^{n}} avec aa un entier et nn un entier naturel.
Soient AA et CC deux réels et soient BB et DD deux réels non nuls.
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
Ainsi : 10n=9a10^n=9a.
10n10^n est alors divisible par 99 .
  • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Dans notre situation, 10n10^n n'est pas divisible par 99 car la somme des chiffre de 10n10^n est égale à 11.
Finalement, l'hypothèse initiale est fausse (19\frac{1}{9} est un décimal) et de ce fait 19\frac{1}{9} n'est pas décimal .