Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

5 min
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Déterminer le nombre xx qui respecte les critères suivants :
Question 1

x∈Qx\in \mathbb{Q} et x∉Dx\notin \mathbb{D}

Correction
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b} où aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
  • Ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.
On choisit par exemple le nombre 13\frac{1}{3} .
En effet :
13\frac{1}{3} est de la forme ab\frac{a}{b} où a=1a=1 est un entier relatif et b=1b=1 est un entier relatif, ainsi : 13∈Q\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}
De plus, 13≈0,33333333...\frac{1}{3}\approx 0,33333333... et d'après le rappel 13∉D\frac{1}{3}\notin \mathbb{D}.
Il y a une infinité de réponses possibles , nous aurions aussi pu choisir : 47\frac{4}{7} ; −89\frac{-8}{9} ; −311\frac{-3}{11} ect...
Question 2

x∈Qx\in \mathbb{Q} et x∉Nx\notin \mathbb{N}

Correction
  • N={0,1,2,3,4,…}\mathbb{N}=\left\{0,1,2,3,4,\ldots \right\} est l'ensemble des entiers naturels. Il s'agit des entiers positifs.
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b} où aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
On choisit par exemple le nombre 132\frac{13}{2} .
En effet :
132\frac{13}{2} est de la forme ab\frac{a}{b} où a=13a=13 est un entier relatif et b=2b=2 est un entier relatif, ainsi : 132∈Q\frac{13}{2}\in \mathbb{Q}
De plus, 132=6,5\frac{13}{2}=6,5 et d'après le rappel 132∉N\frac{13}{2}\notin \mathbb{N}.
Il y a une infinité de réponses possibles , nous aurions aussi pu choisir : 14\frac{1}{4} ; 13\frac{1}{3} ; −27\frac{-2}{7} ect...
Question 3

x∈Qx\in \mathbb{Q} et x∉Zx\notin \mathbb{Z}

Correction
  • Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \right\} est l'ensemble des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b} où aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
On choisit par exemple le nombre −112\frac{-11}{2} .
En effet :
−112\frac{-11}{2} est de la forme ab\frac{a}{b} où a=−11a=-11 est un entier relatif et b=2b=2 est un entier relatif, ainsi : −112∈Q\frac{-11}{2}\in \mathbb{Q}
De plus, −112=−5,5\frac{-11}{2}=-5,5 et d'après le rappel −112∉Z\frac{-11}{2}\notin \mathbb{Z}.
Il y a une infinité de réponses possibles , nous aurions aussi pu choisir : 154\frac{15}{4} ; 83\frac{8}{3} ; 57\frac{5}{7} ect...
Question 4

x∈Dx\in \mathbb{D} et x∉Rx\notin \mathbb{R}

Correction
Il n'existe pas de nombres qui pussent vérifier cette condition.
En effet, par définition n'importe quel nombre auquel vous pensez appartient obligatoirement à l'ensemble des réels.
Question 5

x∈Rx\in \mathbb{R} et x∉Qx\notin \mathbb{Q}

Correction
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b} où aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
Dans cette situation, il faut penser au nombre π\pi .
On vérifie facilement que π∉Q\pi \notin \mathbb{Q} .
Et comme vu à la question précédente, n'importe quel nombre appartient forcément à l'ensemble des réels.
Il y a une infinité de réponses possibles , nous aurions aussi pu choisir : 2\sqrt{2} ; 5\sqrt{5} ; 7\sqrt{7} ect...