Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

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Soit l'intervalle I=[6;7[I=\left[6;7\right[. Citer un nombre de II qui soit :
Question 1

Un entier relatif.

Correction
  • Z={,3,2,1,0,1,2,3,4,}\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \right\} est l'ensemble des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
L'intervalle I=[6;7[I=\left[6;7\right[ s'écrit en inégalité 6x<76\le x<7.
Autrement dit : 6N6\in \mathbb{N} et dans ce cas 6Z6\in \mathbb{Z} .
C'est la seule réponse possible pour cette question.
Question 2

Un décimal.

Correction
  • L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\frac{a}{10^{n}}, où aa est un entier et nn un entier naturel.
  • Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.
L'intervalle I=[6;7[I=\left[6;7\right[ s'écrit en inégalité 6x<76\le x<7.
Nous pouvons choisir par exemple : 6,25D6,25\in \mathbb{D} ou encore 6,8D6,8\in \mathbb{D}
Question 3

Un rationnel non décimal.

Correction
  • L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\frac{a}{10^{n}}, où aa est un entier et nn un entier naturel.
  • Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b}aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur 31151\frac{311}{51} nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas 6,098039216..6,098039216.. (
Ainsi 31151\frac{311}{51} appartient bien à l'intervalle II.
Il en résulte donc que 31151Q\frac{311}{51}\in \mathbb{Q} mais 31151D\frac{311}{51}\notin \mathbb{D}
Question 4

Un irrationnel.

Correction
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur 2π2\pi nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas 6,283185307..6,283185307..
De ce fait , 2π2\pi est un irrationnel car nous ne pouvons pas écrire la valeur 2π2\pi à l'aide d'un quotient d'entiers.