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Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 3
6 min
20
Soit l'intervalle
I
=
[
6
;
7
[
I=\left[6;7\right[
I
=
[
6
;
7
[
. Citer un nombre de
I
I
I
qui soit :
Question 1
Un entier relatif.
Correction
Z
=
{
…
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \right\}
Z
=
{
…
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
est l'ensemble des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
L'intervalle
I
=
[
6
;
7
[
I=\left[6;7\right[
I
=
[
6
;
7
[
s'écrit en inégalité
6
≤
x
<
7
6\le x<7
6
≤
x
<
7
.
Autrement dit :
6
∈
N
6\in \mathbb{N}
6
∈
N
et dans ce cas
6
∈
Z
6\in \mathbb{Z}
6
∈
Z
.
C'est la seule réponse possible pour cette question.
Question 2
Un décimal.
Correction
L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme
a
1
0
n
\frac{a}{10^{n}}
1
0
n
a
, où
a
a
a
est un entier et
n
n
n
un entier naturel.
Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre
fini
de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté
D
\mathbb{D}
D
.
L'intervalle
I
=
[
6
;
7
[
I=\left[6;7\right[
I
=
[
6
;
7
[
s'écrit en inégalité
6
≤
x
<
7
6\le x<7
6
≤
x
<
7
.
Nous pouvons choisir par exemple :
6
,
25
∈
D
6,25\in \mathbb{D}
6
,
25
∈
D
ou encore
6
,
8
∈
D
6,8\in \mathbb{D}
6
,
8
∈
D
Question 3
Un rationnel non décimal.
Correction
L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme
a
1
0
n
\frac{a}{10^{n}}
1
0
n
a
, où
a
a
a
est un entier et
n
n
n
un entier naturel.
Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre
fini
de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté
D
\mathbb{D}
D
.
On rappelle que
Q
\mathbb{Q}
Q
est l’ensemble des nombres rationnels de la forme
a
b
\frac{a}{b}
b
a
où
a
a
a
est un entier relatif et
b
b
b
est un entier relatif non nul.
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur
311
51
\frac{311}{51}
51
311
nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas
6
,
098039216..
6,098039216..
6
,
098039216..
(
Ainsi
311
51
\frac{311}{51}
51
311
appartient bien à l'intervalle
I
I
I
.
Il en résulte donc que
311
51
∈
Q
\frac{311}{51}\in \mathbb{Q}
51
311
∈
Q
mais
311
51
∉
D
\frac{311}{51}\notin \mathbb{D}
51
311
∈
/
D
Question 4
Un irrationnel.
Correction
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur
2
π
2\pi
2
π
nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas
6
,
283185307..
6,283185307..
6
,
283185307..
De ce fait ,
2
π
2\pi
2
π
est un irrationnel car nous ne pouvons pas écrire la valeur
2
π
2\pi
2
π
à l'aide d'un quotient d'entiers.