Ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues
Exercices types : 1ère partie
Exercice 1
Mettre une croix "x" pour indiquer que le nombre appartient à l'ensemble sinon laisser la case vide.
1
Correction
N={0,1,2,3,4,…} est l'ensemble des entiers naturels. Il s'agit des entiers positifs.
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…} est l'ensemble des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
L’ensemble des nombres deˊcimaux est noté D. Ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule.
On rappelle que Q est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ba où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul.
−36=−6. Il en résulte donc que −6 est un entier relatif. Autrement dit : −6∈Z. Comme Z⊂D⊂Q⊂R alors −6∈D et également −6∈Q et enfin −6∈R
2033=1,65. Il en résulte donc que 2033 est un nombre décimal. Autrement dit : 2033∈D. Comme D⊂Q⊂R alors 2033∈Q et enfin 2033∈R
1,666666....=35. Il en résulte donc que 35 n'est pas un nombre décimal mais 35 est un rationnel. Autrement dit : 35∈Q. Comme Q⊂R alors 35∈R
2,436000=15000. Il en résulte donc que 2,436000 est un entier naturel.Autrement dit : 2,436000∈N. Comme N⊂Z⊂D⊂Q⊂R alors 2,436000∈Z et 2,436000∈D et 2,436000∈Q et enfin 2,436000∈R
.
2
Déterminer deux entiers consécutifs appartenant à l'intervalle ]−1;1]
Correction
Sur l'intervalle ]−1;1] les deux seuls entiers consécutifs sont 0 et 1.
Compléter par l'un des symboles ∈ , ∈/
3
10−3…[0;1[
Correction
10−3=0,001. Ainsi : 0≤0,001<1 D'où :
10−3∈[0;1[
4
37…D
Correction
Ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Lorsque l'on tape 37 à la calculatrice on lit la valeur suivante : 2,333333333... L'écriture décimale , ici, a un nombre INFINI de chiffres après la virgule. Ainsi : 37∈/D
5
−2…]−2;π[
Correction
−2∈/]−2;π[
6
2π…R
Correction
2π∈R car quelque soit le nombre choisi celui-ci appartiendra à l'ensemble des réels R.
7
3−2…Q
Correction
C’est l’ensemble des nombres qui s’écrivent comme le quotient d’un entier par un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.
3−2∈Q
Exercice 2
Soit x un réel tel que : 27<x<19.
1
Sans justifier, donner une valeur de x qui soit un entier naturel .
Correction
N={0,1,2,3,4,…} est l'ensemble des entiers naturels. Il s'agit des entiers positifs.
Nous savons que x un réel tel que : 27<x<19 . Or 19≈4,356 Il en résulte donc que l'on peut choisir x=4
2
Sans justifier, donner une valeur de x qui soit un décimal .
Correction
L’ensemble des nombres deˊcimaux est noté D. Ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule.
Nous savons que x un réel tel que : 27<x<19 . Or 19≈4,356 Il en résulte donc que l'on peut choisir x=4,1
3
Sans justifier, donner une valeur de x qui soit un rationnel .
Correction
On rappelle que Q est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ba où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul.
Nous savons que x un réel tel que : 27<x<19 . Or 19≈4,356 Il en résulte donc que l'on peut choisir x=417
4
Sans justifier, donner une valeur de x qui soit un rationnel non décimal.
Correction
On rappelle que Q est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ba où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul.
Nous savons que x un réel tel que : 27<x<19 . Or 19≈4,356 Il en résulte donc que l'on peut choisir x=313 . En effet : 313≈4,3333333333...3
5
Sans justifier, donner une valeur de x qui soit un irrationnel.
Correction
Nous savons que x un réel tel que : 27<x<19 . Or 19≈4,356 Il en résulte donc que l'on peut choisir x=17 .
Exercice 3
Soit l'intervalle I=[6;7[. Citer un nombre de I qui soit :
1
Un entier relatif.
Correction
L'intervalle I=[6;7[ s'écrit en inégalité 6≤x<7. Autrement dit : 6∈N C'est la seule réponse possible pour cette question.
2
Un décimal.
Correction
L'intervalle I=[6;7[ s'écrit en inégalité 6≤x<7. Nous pouvons choisir par exemple : 6,25∈D ou encore 6,8∈D
3
Un rationnel non décimal.
Correction
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur 51311 nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas 6,098039216.. Ainsi 51311 appartient bien à l'intervalle I. Il en résulte donc que 51311∈Q mais 51311∈/D
4
Un irrationnel.
Correction
Si vous tapez à la calculatrice par exemple la valeur 2π nous trouverons une valeur qui ne s'arrête pas 6,283185307.. De ce fait , 2π est un irrationnel car nous ne pouvons pas écrire la valeur 2π à l'aide d'un quotient d'entiers.
Exercice 4
Écrire sous forme d’intervalle les inégalités suivantes. Il vous sera également demandé de donner une représentation graphique à l'aide d'une droite des solutions.
1
1<x≤5
Correction
L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x strictement supérieurs à 1 et inférieurs ou égaux à 5. Il s’agit de l’intervalle ]1;5]. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
2
2<x<3
Correction
L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x strictement supérieurs à 2 et strictement inférieurs à 3. Il s’agit de l’intervalle ]2;3[. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
3
x<−1
Correction
L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x strictement inférieurs à −1. Il s’agit de l’intervalle ]−∞;−1[. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
4
x>−5
Correction
L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x strictement supérieurs à −5. Il s’agit de l’intervalle ]−5;+∞[. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
Pour les questions suivantes, nous vous donnons un intervalle et vous devez donner l'inégalité respective ainsi que la représentation des solutions sur une droite.
5
I=[7;+∞[
Correction
L'intervalle I=[7;+∞[ est constitué de tous les nombres réels x supérieurs ou égaux à 7. L'inégalité correspondante à l'intervalle I=[7;+∞[ est alors : x≥7 La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
6
I=]−1;4]
Correction
L'intervalle I=]−1;4] est constitué de tous les nombres réels x strictement supérieurs à −1 et inférieurs ou égaux à 4. L'inégalité correspondante à l'intervalle I=]−1;4] est alors : −1<x≤4. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
7
I=]−∞;0]
Correction
L'intervalle I=]−∞;0] est constitué de tous les nombres réels x inférieurs ou égaux à 0. L'inégalité correspondante à l'intervalle I=]−∞;0] est alors : x≤0. La représentation graphique est donnée ci-dessous . La partie en rouge correspond à l'ensemble des solutions.
Exercice 5
1
Compléter le tableau suivant. Si le nombre appartient à l'ensemble de nombres, mettre une croix "x" et le réécrire sous forme adaptée si cela est nécessaire.
Correction
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !
Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte. Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.
J'ai 20 en maths – et ses partenaires – utilisent des cookies aux fins de fournir leurs services. En utilisant le site, vous consentez à cette utilisation selon les modalités décrites dans nos Conditions générales d'utilisation et de vente.
