Encadrer $$\sqrt{2}$$ par balayage (algorithme) - Exercice 1

On a $$1^{2}=1$$, $$\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2$$ et $$2^{2}=4$$. Comme $$1\le 2\le 4$$ et que ces trois nombres $$1$$, $$\sqrt{2}$$ et $$2$$ sont positifs :
Le nombre $$\sqrt{2}$$ est donc entre $$1$$ et $$2$$ : en partant de $$a=1$$, on est sûr de commencer en dessous de $$\sqrt{2}$$.

La variable pas vaut $$10^{-n}$$.
Tant que $$\left(a+\text{pas}\right)^{2}\le 2$$, c'est-à-dire tant que $$a+\text{pas}\le \sqrt{2}$$, on avance $$a$$ d'un pas : on « balaie » les nombres $$1$$ ; $$1+\text{pas}$$ ; $$1+2\times\text{pas}$$ ; …
À la sortie de la boucle :

$$a\le \sqrt{2}$$, car $$a$$ n'a avancé que lorsque $$a+\text{pas}\le \sqrt{2}$$ ;

$$\left(a+\text{pas}\right)^{2}\gt 2$$, donc $$a+\text{pas}\gt \sqrt{2}$$.

Remarque : Python calcule de façon approchée avec les nombres décimaux. Sans la fonction round, qui arrondit à $$n$$ chiffres après la virgule, on obtiendrait par exemple 1.4000000000000004 au lieu de 1.4.

Pour $$n=1$$, la variable pas vaut $$10^{-1}=0{,}1$$.
Lorsque $$a=1{,}4$$, on a $$\left(1{,}5\right)^{2}=2{,}25\gt 2$$ : la boucle s'arrête et la fonction renvoie (1.4, 1.5).

L'appel balayage(3) donne un encadrement d'amplitude $$10^{-3}$$ :
La variable $$a$$ est passée de $$1$$ à $$1{,}414$$ par pas de $$0{,}001$$. La boucle a donc été parcourue $$\frac{1{,}414-1}{0{,}001}=414$$ fois.
Chaque décimale supplémentaire multiplie environ par $$10$$ le nombre de passages dans la boucle : la méthode est simple, mais lente.

Comme $$1\le 3\le 4$$, on a $$1\le \sqrt{3}\le 2$$ : on peut encore commencer à $$a=1$$. Il suffit de remplacer $$2$$ par $$3$$ dans la condition de la boucle (ligne 4).
Pour $$n=2$$ : $$1{,}73^{2}=2{,}9929\le 3$$ et $$1{,}74^{2}=3{,}0276\gt 3$$. La fonction renvoie (1.73, 1.74).