QCM Bilan sur tout le programme pré prépa

QCM Bilan 1 - Exercice 1

2 h
165
Voici un Q.C.M. afin d'évaluer votre progression vers votre entrée dans l'enseignement supérieur.
Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.

La limite lim⁡x⟶−∞x2+x−x2+13x2+2x−3x2+x+1\lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} vaut :
a.\bf{a.} +∞+ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

c.\bf{c.} 3\sqrt{3}                                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n'existe pas

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Il  faut  utiliser  la  meˊthode  de  l′expression  conjugueˊe\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, l'expression \,\,conjuguée}}}
Par la méthode de l'expression conjuguée, on trouve que :
lim⁡x⟶−∞x2+x−x2+13x2+2x−3x2+x+1=lim⁡x⟶−∞3+2x+3+1x+1x21+1x+1+1x2=3+31+1=232=3\lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} = \lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{ \sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
Question 2

La limite lim⁡x⟶4x−2x2−5x+4\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} vaut :
a.\bf{a.} +∞+ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 112\dfrac{1}{12}

c.\bf{c.} 00                                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n'existe pas

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
Il  faut  utiliser  une  factorisation  et  la  meˊthode  de  l′expression  conjugueˊe\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, une \,\, factorisation \,\, et \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, l'expression \,\,conjuguée}}}
En effet, on a :
lim⁡x⟶4x−2x2−5x+4=lim⁡x⟶4x−2(x−1)(x−4)=lim⁡x⟶4x−2(x−1)(x−4)×x+2x+2=lim⁡x⟶4x2−22(x−1)(x−4)×1x+2=lim⁡x⟶4x−4(x−1)(x−4)×1x+2\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(x-1)(x-4)} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x}^2 - 2^2}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{x - 4}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}
Ce qui nous donne en simplifiant par (x−4)(x-4) :
lim⁡x⟶4x−2x2−5x+4=lim⁡x⟶41(x−1) (x+2)=1(4−1) (4+2)=13 (2+2)=13×4=112\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{1}{(x-1) \, (\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{(4-1) \, (\sqrt{4} + 2)} = \dfrac{1}{3 \, (2 + 2)} = \dfrac{1}{3 \times 4} = \dfrac{1}{12}
Question 3

La limite lim⁡x⟶1x3−1x−1\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 1}{x-1} vaut :
a.\bf{a.} 11                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 112\dfrac{1}{12}

c.\bf{c.} 00                                                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 13\dfrac{1}{3}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Il  faut  utiliser  la  deˊfinition  du  nombre  deˊriveˊe  en  x=1\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, définition \,\, du \,\, nombre \,\, dérivée \,\, en} \,\, x=1 }}
En effet, en utilisant la définition de la dérivée en 11, on trouve que :
lim⁡x⟶1x3−1x−1=(x3)′(x=1)=(x13)′(x=1)=(13x13−1)(x=1)=(13x−23)(x=1)=13×1−23=13×1=13\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 1}{x-1} = \left( \sqrt[3]{x} \right)'(x=1) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)'(x=1) = \left( \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} \right)(x=1) = \left( \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \right)(x=1) = \dfrac{1}{3} \times 1^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}
Question 4

La limite lim⁡x⟶1x2+x−x2+13x2+2x−3x2+x+1\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} vaut :
a.\bf{a.} +∞+ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

c.\bf{c.} 11                                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 52\sqrt{\dfrac{5}{2}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Il  faut  utiliser  la  meˊthode  de  factorisation  par  le  terme  de  puissance  la  plus  importante\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, factorisation \,\, par \,\, le \,\, terme \,\, de \,\, puissance \,\, la \,\, plus \,\, importante }}}
En factorisant par x2x^2 dans chacune des racines carrées présentent, on trouve que :
lim⁡x⟶1x2+x−x2+13x2+2x−3x2+x+1=lim⁡x⟶13+2x+3+1x+1x21+1x+1+1x2=3+21+3+11+1121+11+1+112=3+2+3+1+11+1+1+1=5+52+2=2522=52=52\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{1}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{1}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2}}} = \dfrac{\sqrt{3 + 2} + \sqrt{3 + 1 + 1}}{\sqrt{1 + 1} +\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}} {\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{5}{2}}
Question 5

On considère les trois nombres réels strictement positifs aa, α\alpha et β\beta.
La limite lim⁡x⟶axα−aαxβ−aβ\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} vaut :
a.\bf{a.} aαβa^{\frac{\alpha}{\beta}}                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} αβ\dfrac{\alpha}{\beta}

c.\bf{c.} aα−βa^{\alpha - \beta}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} αβaα−β\dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha - \beta}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Il  faut  utiliser  un  jeu  d′eˊcriture  et  la  deˊfinition  du  nombre  deˊriveˊe  en  x=a\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, un \,\, jeu \,\, d'écriture \,\, et \,\, la \,\, définition \,\, du \,\, nombre \,\, dérivée \,\, en} \,\, x=a }}
En effet, on a :
lim⁡x⟶axα−aαxβ−aβ=lim⁡x⟶a(xα−aαx−a×x−axβ−aβ)=lim⁡x⟶a(xα−aαx−a×1xβ−aβx−a)=lim⁡x⟶axα−aαx−a×1lim⁡x⟶axβ−aβx−a\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{x- a}{x^\beta - a^\beta} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{1}{\dfrac{x^\beta - a^\beta}{x- a}} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow a}} \dfrac{x^\beta - a^\beta}{x- a}}
On reconnait alors la définition de la dérivation en aa, et on obtient alors :
lim⁡x⟶axα−aαxβ−aβ=(xα)′(x=a)(xβ)′(x=a)=(αxα−1)(x=a)(βxβ−1)(x=a)=αaα−1βaβ−1=αβaα−1aβ−1=αβaα−1−(β−1)=αβaα−1−β+1=αβaα−β\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} = \dfrac{\left( x^\alpha \right)'(x=a)}{\left( x^\beta \right)'(x=a)} = \dfrac{\left( \alpha x^{\alpha-1} \right)(x=a)}{\left( \beta x^{\beta-1} \right)(x=a)} = \dfrac{\alpha a^{\alpha-1}}{\beta a^{\beta-1}} = \dfrac{\alpha}{\beta} \dfrac{a^{\alpha-1}}{a^{\beta-1}} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-1 - (\beta-1)} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-1 - \beta + 1} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-\beta }
Question 6

Soit x∈[π4 ; π3]x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\ \dfrac{\pi}{3} \right]. L'expression f′f' de la dérivée de f(x)=1sin⁡(1x)f(x) = \dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{1}{x} \right)} est :

a.\bf{a.} f′(x)=1cos⁡(1x)f'(x) = \dfrac{1}{\cos\left( \dfrac{1}{x} \right)}                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f′(x)=1x2sin⁡2(1x)f'(x) = \dfrac{1}{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}

c.\bf{c.} f′(x)=1x2cos⁡(1x)tan⁡2(1x)f'(x) = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \tan^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f′(x)=−cos⁡(1x)x2sin⁡2(1x)f'(x) = \dfrac{-\cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Il  faut  utiliser  la  formule  de  deˊrivation  suivante  :  (1f)′=−f′f2\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\dfrac{1}{f}\right)' = \dfrac{-f'}{f^2} }}
En effet, soit x∈[π4 ; π3]x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\ \dfrac{\pi}{3} \right]. L'expression f′f' de la dérivée de f(x)=1sin⁡(1x)f(x) = \dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{1}{x} \right)} est :
f′(x)=−(sin⁡(1x))′sin⁡2(1x)=−(1x)′×cos⁡(1x)sin⁡2(1x)=−−1x2×cos⁡(1x)sin⁡2(1x)=cos⁡(1x)x2sin⁡2(1x)=cos⁡2(1x)x2cos⁡(1x)sin⁡2(1x)=1x2cos⁡(1x)sin⁡2(1x)cos⁡2(1x)=1x2cos⁡(1x)tan⁡2(1x)f'(x) = \dfrac{-\left( \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) \right)'}{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{- \left( \dfrac{1}{x} \right)' \times \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{- \dfrac{-1}{x^2} \times \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{\cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{\cos^2\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \dfrac{ \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{1}{x} \right) }} = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \tan^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}
Question 7

Soit 0<x<0,30 < x < 0,3. L'expression f′f' de la dérivée de f(x)=ln⁡(cos⁡2(x+1)f(x) = \ln\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1 \right) est :

a.\bf{a.} f′(x)=tan⁡(x+1)f'(x) = \tan(\sqrt{x} + 1 )                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f′(x)=xtan⁡(x+1)f'(x) = \sqrt{x}\tan(\sqrt{x} + 1 )

c.\bf{c.} f′(x)=−tan⁡(x+1)xf'(x) = -\dfrac{\tan(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f′(x)=−tan⁡2(x+1)xf'(x) = -\dfrac{\tan^2(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Il  faut  utiliser  la  formule  de  deˊrivation  suivante  :  (ln⁡(f))′=f′f\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\ln(f)\right)' = \dfrac{f'}{f} }}
En effet, on a :
f′(x)=(ln⁡(cos⁡2(x+1)))′=(cos⁡2(x+1))′cos⁡2(x+1)=2cos⁡(x+1)(cos⁡(x+1))′cos⁡2(x+1)=2cos⁡(x+1)×(x+1)′×−sin⁡(x+1)cos⁡2(x+1)f'(x) = \left(\ln\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1) \right)\right)' = \dfrac{\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1) \right)'}{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \left( \cos(\sqrt{x} + 1) \right)'}{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \times (\sqrt{x} + 1)' \times -\sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos^2(\sqrt{x} + 1)}
Ce qui nous donne :
f′(x)=2cos⁡(x+1)×12x×−sin⁡(x+1)cos⁡2(x+1)=−1xsin⁡(x+1)cos⁡(x+1)=−tan⁡(x+1)xf'(x) = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times -\sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = - \dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{x}} \sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos(\sqrt{x} + 1)} = -\dfrac{\tan(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}
Question 8

Soit x>0x>0. L'expression f′f' de la dérivée de f(x)=cos⁡2(ln⁡(x+1))f(x) = \cos^2\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) est :

a.\bf{a.} f′(x)=−sin⁡(2ln⁡(x+1))2x(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin \left(2 \ln\left( \sqrt{x} +1 \right) \right)}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f′(x)=−sin⁡(2ln⁡(x+1))2(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin \left(2 \ln\left( \sqrt{x} +1 \right) \right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}

c.\bf{c.} f′(x)=−12(x+1)f'(x) = - \dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f′(x)=−sin⁡(x+1)x+xf'(x) = -\dfrac{\sin(\sqrt{x} + 1 )}{x +\sqrt{x}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
Il  faut  utiliser  la  formule  de  deˊrivation  suivante  :  (f2)′=2f′f\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(f^2\right)' = 2 f'f }}
En effet, on a :
f′(x)=(cos⁡2(ln⁡(x+1)))′=2cos⁡(ln⁡(x+1))(cos⁡(ln⁡(x+1)))′=2cos⁡(ln⁡(x+1))(ln⁡(x+1))′×−sin⁡(ln⁡(x+1))f'(x) = \left( \cos^2\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \right)'= 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \left( \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \right)' = 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)' \times -\sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)
Mais (ln⁡(x+1))′=(x+1)′x+1=12xx+1=12x(x+1)\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)' = \dfrac{(\sqrt{x} + 1 )'}{\sqrt{x} + 1 } = \dfrac{ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} }{\sqrt{x} + 1 } = \dfrac{1}{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}. Ainsi, on obtient :
f′(x)=−2cos⁡(ln⁡(x+1))12x(x+1)sin⁡(ln⁡(x+1))=−2cos⁡(ln⁡(x+1))sin⁡(ln⁡(x+1))2x(x+1)f'(x) = - 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \dfrac{1}{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)} \sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) = - \dfrac{2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) }{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}
Mais pour tout XX réel, on sait que 2cos⁡(X)sin⁡(X)=sin⁡(2X)2 \cos(X) \sin(X) = \sin(2X). Finalement, on trouve que :
f′(x)=−sin⁡(2ln⁡(x+1))2x(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin\left( 2\ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) }{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}
Question 9

Soit x⩾2x \geqslant 2. L'expression f′f' de la dérivée de f(x)=ln⁡(ln⁡(ln⁡(x2)))f(x) = \ln \left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right) est :

a.\bf{a.} f′(x)=1ln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x2))f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x) \ln \left( \ln(x^2)\right)}                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f′(x)=1xln⁡(x)ln⁡(2ln⁡(x))f'(x) = \dfrac{1}{x \ln(x) \ln \left( 2 \ln(x)\right)}

c.\bf{c.} f′(x)=−xln⁡(x)ln⁡(2ln⁡(x))f'(x) = - \dfrac{x}{\ln(x) \ln \left( 2\ln(x)\right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f′(x)=2ln⁡(ln⁡(x))f'(x) = 2\ln(\ln(x))

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
Il  faut  utiliser  la  formule  de  deˊrivation  suivante  :  (ln⁡(f))′=f′f\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\ln(f)\right)' = \dfrac{f'}{f} }}
En effet, pour x⩾2x \geqslant 2, on a :
f′(x)=(ln⁡(ln⁡(ln⁡(x2))))′=(ln⁡(ln⁡(x2)))′ln⁡(ln⁡(x2))=(ln⁡(x2))′ln⁡(x2)ln⁡(ln⁡(x2))=(x2)′x2ln⁡(x2)ln⁡(ln⁡(x2))=2xx2ln⁡(x2)ln⁡(ln⁡(x2))=2xln⁡(x2)ln⁡(ln⁡(x2))=2x2ln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x2))=1xln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x2))=1xln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x2))=1xln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x2))f'(x) = \left( \ln \left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right) \right)'= \dfrac{\left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right)'}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\left( \ln \left( x^2\right) \right)'}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{(x^2)'}{x^2}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2x}{x^2}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2}{x}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2}{x}}{2\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{1}{x\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{1}{x\ln(x)\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)}
Mais comme ln⁡(x2)=2ln⁡(x)\ln(x^2) = 2 \ln(x), on a :
f′(x)=1xln⁡(x)ln⁡(2ln⁡(x))f'(x) = \dfrac{1}{x \ln(x) \ln \left( 2 \ln(x)\right)}
Question 10

On considère la fonction numérique ff suivante :
f:{x⟼[ 0 ; 1 ]x⟶∣ sin⁡(x) ∣f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & \longmapsto & [\,0\,;\,1\,] \\ & & \\ x & \longrightarrow & |\, \sin(x)\,| \end{array} \right.