Voici un Q.C.M. afin d'évaluer votre progression vers votre entrée dans l'enseignement supérieur.
Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
La limite x⟶−∞lim3x2+2x−3x2+x+1x2+x−x2+1 vaut : a.+∞b.0
c.3d. n'existe pas
Correction
La bonne reˊponse estc Ilfaututiliserlameˊthodedel′expressionconjugueˊe Par la méthode de l'expression conjuguée, on trouve que : x⟶−∞lim3x2+2x−3x2+x+1x2+x−x2+1=x⟶−∞lim1+x1+1+x213+x2+3+x1+x21=1+13+3=223=3
Question 2
La limite x⟶4limx2−5x+4x−2 vaut : a.+∞b.121
c.0d. n'existe pas
Correction
La bonne reˊponse estb Ilfaututiliserunefactorisationetlameˊthodedel′expressionconjugueˊe En effet, on a : x⟶4limx2−5x+4x−2=x⟶4lim(x−1)(x−4)x−2=x⟶4lim(x−1)(x−4)x−2×x+2x+2=x⟶4lim(x−1)(x−4)x2−22×x+21=x⟶4lim(x−1)(x−4)x−4×x+21 Ce qui nous donne en simplifiant par (x−4) : x⟶4limx2−5x+4x−2=x⟶4lim(x−1)(x+2)1=(4−1)(4+2)1=3(2+2)1=3×41=121
Question 3
La limite x⟶1limx−13x−1 vaut : a.1b.121
c.0d.31
Correction
La bonne reˊponse estd Ilfaututiliserladeˊfinitiondunombredeˊriveˊeenx=1 En effet, en utilisant la définition de la dérivée en 1, on trouve que : x⟶1limx−13x−1=(3x)′(x=1)=(x31)′(x=1)=(31x31−1)(x=1)=(31x−32)(x=1)=31×1−32=31×1=31
Question 4
La limite x⟶1lim3x2+2x−3x2+x+1x2+x−x2+1 vaut : a.+∞b.0
c.1d.25
Correction
La bonne reˊponse estd Ilfaututiliserlameˊthodedefactorisationparletermedepuissancelaplusimportante En factorisant par x2 dans chacune des racines carrées présentent, on trouve que : x⟶1lim3x2+2x−3x2+x+1x2+x−x2+1=x⟶1lim1+x1+1+x213+x2+3+x1+x21=1+11+1+1213+12+3+11+121=1+1+1+13+2+3+1+1=2+25+5=2225=25=25
Question 5
On considère les trois nombres réels strictement positifs a, α et β. La limite x⟶alimxβ−aβxα−aα vaut : a.aβαb.βα
c.aα−βd.βαaα−β
Correction
La bonne reˊponse estd Ilfaututiliserunjeud′eˊcritureetladeˊfinitiondunombredeˊriveˊeenx=a En effet, on a : x⟶alimxβ−aβxα−aα=x⟶alim(x−axα−aα×xβ−aβx−a)=x⟶alim⎝⎛x−axα−aα×x−axβ−aβ1⎠⎞=x⟶alimx−axα−aα×x⟶alimx−axβ−aβ1 On reconnait alors la définition de la dérivation en a, et on obtient alors : x⟶alimxβ−aβxα−aα=(xβ)′(x=a)(xα)′(x=a)=(βxβ−1)(x=a)(αxα−1)(x=a)=βaβ−1αaα−1=βαaβ−1aα−1=βαaα−1−(β−1)=βαaα−1−β+1=βαaα−β
Question 6
Soit x∈[4π;3π]. L'expression f′ de la dérivée de f(x)=sin(x1)1 est :
La bonne reˊponse estc Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(f1)′=f2−f′ En effet, soit x∈[4π;3π]. L'expression f′ de la dérivée de f(x)=sin(x1)1 est : f′(x)=sin2(x1)−(sin(x1))′=sin2(x1)−(x1)′×cos(x1)=sin2(x1)−x2−1×cos(x1)=x2sin2(x1)cos(x1)=x2cos(x1)sin2(x1)cos2(x1)=x2cos(x1)cos2(x1)sin2(x1)1=x2cos(x1)tan2(x1)1
Question 7
Soit 0<x<0,3. L'expression f′ de la dérivée de f(x)=ln(cos2(x+1) est :
a.f′(x)=tan(x+1)b.f′(x)=xtan(x+1)
c.f′(x)=−xtan(x+1)d.f′(x)=−xtan2(x+1)
Correction
La bonne reˊponse estc Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(ln(f))′=ff′ En effet, on a : f′(x)=(ln(cos2(x+1)))′=cos2(x+1)(cos2(x+1))′=cos2(x+1)2cos(x+1)(cos(x+1))′=cos2(x+1)2cos(x+1)×(x+1)′×−sin(x+1) Ce qui nous donne : f′(x)=cos2(x+1)2cos(x+1)×2x1×−sin(x+1)=−cos(x+1)x1sin(x+1)=−xtan(x+1)
Question 8
Soit x>0. L'expression f′ de la dérivée de f(x)=cos2(ln(x+1)) est :
La bonne reˊponse esta Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(f2)′=2f′f En effet, on a : f′(x)=(cos2(ln(x+1)))′=2cos(ln(x+1))(cos(ln(x+1)))′=2cos(ln(x+1))(ln(x+1))′×−sin(ln(x+1)) Mais (ln(x+1))′=x+1(x+1)′=x+12x1=2x(x+1)1. Ainsi, on obtient : f′(x)=−2cos(ln(x+1))2x(x+1)1sin(ln(x+1))=−2x(x+1)2cos(ln(x+1))sin(ln(x+1)) Mais pour tout X réel, on sait que 2cos(X)sin(X)=sin(2X). Finalement, on trouve que : f′(x)=−2x(x+1)sin(2ln(x+1))
Question 9
Soit x⩾2. L'expression f′ de la dérivée de f(x)=ln(ln(ln(x2))) est :
La bonne reˊponse estb Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(ln(f))′=ff′ En effet, pour x⩾2, on a : f′(x)=(ln(ln(ln(x2))))′=ln(ln(x2))(ln(ln(x2)))′=ln(ln(x2))ln(x2)(ln(x2))′=ln(ln(x2))ln(x2)x2(x2)′=ln(ln(x2))ln(x2)x22x=ln(ln(x2))ln(x2)x2=ln(ln(x2))2ln(x)x2=ln(ln(x2))ln(x)x1=ln(ln(x2))xln(x)1=xln(x)ln(ln(x2))1 Mais comme ln(x2)=2ln(x), on a : f′(x)=xln(x)ln(2ln(x))1
Question 10
On considère la fonction numérique f suivante : f:⎩⎨⎧xx⟼