QCM Bilan sur tout le programme pré prépa

QCM Bilan 1 - Exercice 1

2 h
165
Voici un Q.C.M. afin d'évaluer votre progression vers votre entrée dans l'enseignement supérieur.
Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.

La limite limxx2+xx2+13x2+2x3x2+x+1\lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} vaut :
a.\bf{a.} ++ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

c.\bf{c.} 3\sqrt{3}                                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n'existe pas

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Ilfaututiliserlameˊthodedelexpressionconjugueˊe\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, l'expression \,\,conjuguée}}}
Par la méthode de l'expression conjuguée, on trouve que :
limxx2+xx2+13x2+2x3x2+x+1=limx3+2x+3+1x+1x21+1x+1+1x2=3+31+1=232=3\lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} = \lim_{x \longrightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{ \sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
Question 2

La limite limx4x2x25x+4\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} vaut :
a.\bf{a.} ++ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 112\dfrac{1}{12}

c.\bf{c.} 00                                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n'existe pas

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
Ilfaututiliserunefactorisationetlameˊthodedelexpressionconjugueˊe\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, une \,\, factorisation \,\, et \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, l'expression \,\,conjuguée}}}
En effet, on a :
limx4x2x25x+4=limx4x2(x1)(x4)=limx4x2(x1)(x4)×x+2x+2=limx4x222(x1)(x4)×1x+2=limx4x4(x1)(x4)×1x+2\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(x-1)(x-4)} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x}^2 - 2^2}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{x - 4}{(x-1)(x-4)} \times \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}
Ce qui nous donne en simplifiant par (x4)(x-4) :
limx4x2x25x+4=limx41(x1)(x+2)=1(41)(4+2)=13(2+2)=13×4=112\lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 5x + 4} = \lim_{x \longrightarrow 4} \dfrac{1}{(x-1) \, (\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{(4-1) \, (\sqrt{4} + 2)} = \dfrac{1}{3 \, (2 + 2)} = \dfrac{1}{3 \times 4} = \dfrac{1}{12}
Question 3

La limite limx1x31x1\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 1}{x-1} vaut :
a.\bf{a.} 11                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 112\dfrac{1}{12}

c.\bf{c.} 00                                                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 13\dfrac{1}{3}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Ilfaututiliserladeˊfinitiondunombredeˊriveˊeenx=1\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, définition \,\, du \,\, nombre \,\, dérivée \,\, en} \,\, x=1 }}
En effet, en utilisant la définition de la dérivée en 11, on trouve que :
limx1x31x1=(x3)(x=1)=(x13)(x=1)=(13x131)(x=1)=(13x23)(x=1)=13×123=13×1=13\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 1}{x-1} = \left( \sqrt[3]{x} \right)'(x=1) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)'(x=1) = \left( \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} \right)(x=1) = \left( \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \right)(x=1) = \dfrac{1}{3} \times 1^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}
Question 4

La limite limx1x2+xx2+13x2+2x3x2+x+1\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} vaut :
a.\bf{a.} ++ \infty                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

c.\bf{c.} 11                                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 52\sqrt{\dfrac{5}{2}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Ilfaututiliserlameˊthodedefactorisationparletermedepuissancelaplusimportante\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, méthode \,\, de \,\, factorisation \,\, par \,\, le \,\, terme \,\, de \,\, puissance \,\, la \,\, plus \,\, importante }}}
En factorisant par x2x^2 dans chacune des racines carrées présentent, on trouve que :
limx1x2+xx2+13x2+2x3x2+x+1=limx13+2x+3+1x+1x21+1x+1+1x2=3+21+3+11+1121+11+1+112=3+2+3+1+11+1+1+1=5+52+2=2522=52=52\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{3x^2 + 2x} - \sqrt{3x^2 + x + 1}} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{\sqrt{3 + \dfrac{2}{1}} + \sqrt{3 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1^2}}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{1}} +\sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2}}} = \dfrac{\sqrt{3 + 2} + \sqrt{3 + 1 + 1}}{\sqrt{1 + 1} +\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}} {\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{5}{2}}
Question 5

On considère les trois nombres réels strictement positifs aa, α\alpha et β\beta.
La limite limxaxαaαxβaβ\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} vaut :
a.\bf{a.} aαβa^{\frac{\alpha}{\beta}}                                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} αβ\dfrac{\alpha}{\beta}

c.\bf{c.} aαβa^{\alpha - \beta}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} αβaαβ\dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha - \beta}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Ilfaututiliserunjeudeˊcritureetladeˊfinitiondunombredeˊriveˊeenx=a\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, un \,\, jeu \,\, d'écriture \,\, et \,\, la \,\, définition \,\, du \,\, nombre \,\, dérivée \,\, en} \,\, x=a }}
En effet, on a :
limxaxαaαxβaβ=limxa(xαaαxa×xaxβaβ)=limxa(xαaαxa×1xβaβxa)=limxaxαaαxa×1limxaxβaβxa\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{x- a}{x^\beta - a^\beta} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{1}{\dfrac{x^\beta - a^\beta}{x- a}} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x - a} \times \dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow a}} \dfrac{x^\beta - a^\beta}{x- a}}
On reconnait alors la définition de la dérivation en aa, et on obtient alors :
limxaxαaαxβaβ=(xα)(x=a)(xβ)(x=a)=(αxα1)(x=a)(βxβ1)(x=a)=αaα1βaβ1=αβaα1aβ1=αβaα1(β1)=αβaα1β+1=αβaαβ\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^\alpha - a^\alpha}{x^\beta - a^\beta} = \dfrac{\left( x^\alpha \right)'(x=a)}{\left( x^\beta \right)'(x=a)} = \dfrac{\left( \alpha x^{\alpha-1} \right)(x=a)}{\left( \beta x^{\beta-1} \right)(x=a)} = \dfrac{\alpha a^{\alpha-1}}{\beta a^{\beta-1}} = \dfrac{\alpha}{\beta} \dfrac{a^{\alpha-1}}{a^{\beta-1}} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-1 - (\beta-1)} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-1 - \beta + 1} = \dfrac{\alpha}{\beta} a^{\alpha-\beta }
Question 6

Soit x[π4; π3]x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\ \dfrac{\pi}{3} \right]. L'expression ff' de la dérivée de f(x)=1sin(1x)f(x) = \dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{1}{x} \right)} est :

a.\bf{a.} f(x)=1cos(1x)f'(x) = \dfrac{1}{\cos\left( \dfrac{1}{x} \right)}                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=1x2sin2(1x)f'(x) = \dfrac{1}{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}

c.\bf{c.} f(x)=1x2cos(1x)tan2(1x)f'(x) = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \tan^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=cos(1x)x2sin2(1x)f'(x) = \dfrac{-\cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(1f)=ff2\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\dfrac{1}{f}\right)' = \dfrac{-f'}{f^2} }}
En effet, soit x[π4; π3]x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\ \dfrac{\pi}{3} \right]. L'expression ff' de la dérivée de f(x)=1sin(1x)f(x) = \dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{1}{x} \right)} est :
f(x)=(sin(1x))sin2(1x)=(1x)×cos(1x)sin2(1x)=1x2×cos(1x)sin2(1x)=cos(1x)x2sin2(1x)=cos2(1x)x2cos(1x)sin2(1x)=1x2cos(1x)sin2(1x)cos2(1x)=1x2cos(1x)tan2(1x)f'(x) = \dfrac{-\left( \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) \right)'}{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{- \left( \dfrac{1}{x} \right)' \times \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{- \dfrac{-1}{x^2} \times \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{\sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{\cos\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{\cos^2\left( \dfrac{1}{x} \right) }{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \dfrac{ \sin^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{1}{x} \right) }} = \dfrac{1}{x^2 \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \tan^2\left( \dfrac{1}{x} \right)}
Question 7

Soit 0<x<0,30 < x < 0,3. L'expression ff' de la dérivée de f(x)=ln(cos2(x+1)f(x) = \ln\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1 \right) est :

a.\bf{a.} f(x)=tan(x+1)f'(x) = \tan(\sqrt{x} + 1 )                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=xtan(x+1)f'(x) = \sqrt{x}\tan(\sqrt{x} + 1 )

c.\bf{c.} f(x)=tan(x+1)xf'(x) = -\dfrac{\tan(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=tan2(x+1)xf'(x) = -\dfrac{\tan^2(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(ln(f))=ff\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\ln(f)\right)' = \dfrac{f'}{f} }}
En effet, on a :
f(x)=(ln(cos2(x+1)))=(cos2(x+1))cos2(x+1)=2cos(x+1)(cos(x+1))cos2(x+1)=2cos(x+1)×(x+1)×sin(x+1)cos2(x+1)f'(x) = \left(\ln\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1) \right)\right)' = \dfrac{\left( \cos^2(\sqrt{x} + 1) \right)'}{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \left( \cos(\sqrt{x} + 1) \right)'}{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \times (\sqrt{x} + 1)' \times -\sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos^2(\sqrt{x} + 1)}
Ce qui nous donne :
f(x)=2cos(x+1)×12x×sin(x+1)cos2(x+1)=1xsin(x+1)cos(x+1)=tan(x+1)xf'(x) = \dfrac{2 \cos(\sqrt{x} + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times -\sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos^2(\sqrt{x} + 1)} = - \dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{x}} \sin(\sqrt{x} + 1) }{\cos(\sqrt{x} + 1)} = -\dfrac{\tan(\sqrt{x} + 1 )}{\sqrt{x}}
Question 8

Soit x>0x>0. L'expression ff' de la dérivée de f(x)=cos2(ln(x+1))f(x) = \cos^2\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) est :

a.\bf{a.} f(x)=sin(2ln(x+1))2x(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin \left(2 \ln\left( \sqrt{x} +1 \right) \right)}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=sin(2ln(x+1))2(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin \left(2 \ln\left( \sqrt{x} +1 \right) \right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}

c.\bf{c.} f(x)=12(x+1)f'(x) = - \dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=sin(x+1)x+xf'(x) = -\dfrac{\sin(\sqrt{x} + 1 )}{x +\sqrt{x}}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(f2)=2ff\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(f^2\right)' = 2 f'f }}
En effet, on a :
f(x)=(cos2(ln(x+1)))=2cos(ln(x+1))(cos(ln(x+1)))=2cos(ln(x+1))(ln(x+1))×sin(ln(x+1))f'(x) = \left( \cos^2\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \right)'= 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \left( \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \right)' = 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)' \times -\sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)
Mais (ln(x+1))=(x+1)x+1=12xx+1=12x(x+1)\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right)' = \dfrac{(\sqrt{x} + 1 )'}{\sqrt{x} + 1 } = \dfrac{ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} }{\sqrt{x} + 1 } = \dfrac{1}{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}. Ainsi, on obtient :
f(x)=2cos(ln(x+1))12x(x+1)sin(ln(x+1))=2cos(ln(x+1))sin(ln(x+1))2x(x+1)f'(x) = - 2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \dfrac{1}{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)} \sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) = - \dfrac{2 \cos\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) \sin\left( \ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) }{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}
Mais pour tout XX réel, on sait que 2cos(X)sin(X)=sin(2X)2 \cos(X) \sin(X) = \sin(2X). Finalement, on trouve que :
f(x)=sin(2ln(x+1))2x(x+1)f'(x) = - \dfrac{\sin\left( 2\ln \left(\sqrt{x} + 1 \right) \right) }{2\sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 1 \right)}
Question 9

Soit x2x \geqslant 2. L'expression ff' de la dérivée de f(x)=ln(ln(ln(x2)))f(x) = \ln \left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right) est :

a.\bf{a.} f(x)=1ln(x)ln(ln(x2))f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x) \ln \left( \ln(x^2)\right)}                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=1xln(x)ln(2ln(x))f'(x) = \dfrac{1}{x \ln(x) \ln \left( 2 \ln(x)\right)}

c.\bf{c.} f(x)=xln(x)ln(2ln(x))f'(x) = - \dfrac{x}{\ln(x) \ln \left( 2\ln(x)\right)}                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=2ln(ln(x))f'(x) = 2\ln(\ln(x))

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
Ilfaututiliserlaformulededeˊrivationsuivante:(ln(f))=ff\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, formule \,\, de \,\, dérivation \,\, suivante \,\, : } \,\, \left(\ln(f)\right)' = \dfrac{f'}{f} }}
En effet, pour x2x \geqslant 2, on a :
f(x)=(ln(ln(ln(x2))))=(ln(ln(x2)))ln(ln(x2))=(ln(x2))ln(x2)ln(ln(x2))=(x2)x2ln(x2)ln(ln(x2))=2xx2ln(x2)ln(ln(x2))=2xln(x2)ln(ln(x2))=2x2ln(x)ln(ln(x2))=1xln(x)ln(ln(x2))=1xln(x)ln(ln(x2))=1xln(x)ln(ln(x2))f'(x) = \left( \ln \left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right) \right)'= \dfrac{\left( \ln \left( \ln \left( x^2\right) \right) \right)'}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\left( \ln \left( x^2\right) \right)'}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{(x^2)'}{x^2}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2x}{x^2}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2}{x}}{\ln \left( x^2\right)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{2}{x}}{2\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{\dfrac{1}{x\ln(x)}}{\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)} = \dfrac{1}{x\ln(x)\ln \left( \ln \left( x^2\right) \right)}
Mais comme ln(x2)=2ln(x)\ln(x^2) = 2 \ln(x), on a :
f(x)=1xln(x)ln(2ln(x))f'(x) = \dfrac{1}{x \ln(x) \ln \left( 2 \ln(x)\right)}
Question 10

On considère la fonction numérique ff suivante :
f:{x[0;1]xsin(x)f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & \longmapsto & [\,0\,;\,1\,] \\ & & \\ x & \longrightarrow & |\, \sin(x)\,| \end{array} \right.
Cette fonction est :
a.\bf{a.} dérivable à l'origine                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} non dérivable à l'origine

c.\bf{c.} discontinue à l'origne                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} inexistante à l'origine

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
Ilfaututiliserladeˊfinitiondutauxdevariation(deˊriveˊe)enx=0+etenx=0\red{\boxed{\mathrm{Il \,\,faut \,\, utiliser \,\, la \,\, définition \,\, du \,\, taux \,\, de \,\, variation \,\, (dérivée) \,\, en} \,\, x=0^+ \,\, \mathrm{et \,\, en \,\,} x=0^- }}
En effet, on a :
limx0±f(x)f(0)x0=limx0±sin(x)sin(0)x=limx0±sin(x)0x=limx0±sin(x)x\lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{|\, \sin(x)\,| - |\, \sin(0)\,|}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{|\, \sin(x)\,| - |\, 0 \,|}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{|\, \sin(x)\,|}{x}
Or, lorsque xx tend vers 00, le terme sin(x)\sin(x) est équivalent à xx. Ce qui nous permet d'écrire que :
limx0±f(x)f(0)x0=limx0±xx\lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \dfrac{|\, x \,|}{x}