Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

QCM Bilan Numéro 2 - Exercice 1

20 min
40
Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, vous devez bien sur justifier.

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2x1f\left(x\right)=-x^{2}-x-1 . La limite de ff en -\infty est égale à :
a.\bf{a.} -\infty                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ++\infty

c.\bf{c.} 1-1                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 00

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
limxx2=limxx1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -x-1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme ++\infty -\infty
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
limxx2x1=limxx2=\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}-x-1=\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limxx2x1=\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}-x-1=-\infty

Question 2

Soit ff la fonction définie sur [0;+[\left[0;+\infty\right[ par f(x)=6x2+72x2+3f\left(x\right)=\frac{-6x^{2}+7}{2x^{2}+3} et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative. Cf\mathscr{C_f} admet comme asymptote la droite d'équation :
a.\bf{a.} y=6y=-6                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} y=0y=0

c.\bf{c.} y=3y=-3                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} y=73y=\frac{7}{3}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
limx+6x2+7=limx+2x2+3=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -6x^{2}+7} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2} +3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx+6x2+72x2+3=limx+6x22x2=limx+62=3{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-6x^{2} +7}{2x^{2} +3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-6x^{2} }{2x^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-6 }{2 }=-3
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx+6x2+72x2+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-6x^{2}+7}{2x^{2}+3} =-3
  • Si limx+f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
  • Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
La courbe Cf\mathscr{C_f} admet au voisinage de ++\infty une asymptote horizontale d'équation y=3y=-3.
Question 3

limx+5ex2x4={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-5e^{x} }{2x^{4} } =
a.\bf{a.} -\infty                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

c.\bf{c.} ++\infty                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 11

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
    Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • Pour tout entier naturel nn non nul, on a :limx+exxn=+\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x^n } =+\infty
  • D'après le rappel, il vient que : limx+exx4=+\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x^4 } =+\infty
    Ainsi : limx+5ex2x4=limx+52×(exx4)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-5e^{x} }{2x^{4} } ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{-5}{2} \times \left(\frac{e^{x} }{x^{4} } \right)=-\infty
    Question 4

    limx+25x+3x=\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{\frac{25x+3}{x} }=
    a.\bf{a.} 33                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00

    c.\bf{c.} 2525                                                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 55

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
    On commence par calculer limx+25x+3x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{25x+3}{x}
    Au voisinage de ++\infty et de -\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
    Ce qui nous donne :
    limx+25x+3x=limx+25xx=limx+25=25{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{25x+3}{x}={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{25x}{x}={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 25=25
    Ainsi : limx+25x+3x=25\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } \frac{25x+3}{x}={\color{blue}25}
    On pose X=25x+3xX=\frac{25x+3}{x}. Lorsque xx tend vers +{\color{red}+\infty} alors XX tend vers 25{\color{blue}25}.
    Or : limX25X=25=5\lim\limits_{X\to {\color{blue}25}} \sqrt{X }=\sqrt{25}={\color{green}5}
    Par composition :
    limx+25x+3x=5\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}} \sqrt{\frac{25x+3}{x} }={\color{green}5}

    Question 5

    limx4x<47x12x+8=\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array} }\frac{-7x-1}{-2x+8}=
    a.\bf{a.} 72\frac{7}{2}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ++\infty

    c.\bf{c.} 18-\frac{1}{8}                                                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} -\infty

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    limx4x<47x12x+8\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array} }\frac{-7x-1}{-2x+8} que l'on peut aussi écrire limx47x12x+8\lim\limits_{x\to 4^{-} } \frac{-7x-1}{-2x+8}
    limx47x1=29limx42x+8=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 4^{-} } -7x-1} & {=} & {-29} \\ {\lim\limits_{x\to 4^{-} } -2x+8} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient limx47x12x+8=\lim\limits_{x\to 4^{-} } \frac{-7x-1}{-2x+8} =-\infty .
    On peut expliquer le fait que limx42x+8=0+\lim\limits_{x\to 4^{-} } -2x+8=0^{+} de la manière suivante :
    Nous avons dressé le signe de la fonction x2x+8x\mapsto -2x+8 ci dessous :
    x4x\to 4^{-} signifie que xx tend vers 44 mais avec x<4x<4, donc lorsque x<4x<4 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que limx42x+8=0+\lim\limits_{x\to 4^{-} } -2x+8=0^{+} .
    Nombre0=\frac{{\text Nombre}}{0} =\infty , Ici on a le numérateur 7x1-7x-1 tend vers 29-29 donc négatif et le dénominateur 2x+8-2x+8 s'approche de 00 de manière positive.
    Le numérateur est négatif et le dénominateur positif donc le quotient tend vers -\infty .
    Question 6

    limx+7+sin(x)x+3=\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{7+\sin \left(x\right)}{x+3}=
    a.\bf{a.} 77                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 11

    c.\bf{c.} 13\frac{1}{3}                                                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 00

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    Pour tout réel xx, on a :
    1sin(x)1-1\le \sin \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à :
    1+77+sin(x)7+1-1+7\le 7+\sin \left(x\right)\le 7+1
    67+sin(x)86\le 7+\sin \left(x\right)\le 8 , on va ensuite diviser par x+3x+3 qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de ++\infty
    6x+37+sin(x)x+38x+3\frac{6}{x+3} \le \frac{7+\sin \left(x\right)}{x+3} \le \frac{8}{x+3}
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} limx+6x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6}{x+3} =0
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} limx+8x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{8}{x+3} =0
    D'après le théorème des gendarmes : limx+7+sin(x)x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{7+\sin \left(x\right)}{x+3}=0
    Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    Question 7

    limxcos(x)+3x=\lim\limits_{x\to -\infty }\cos \left(x\right)+3x=
    a.\bf{a.} 00                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ++\infty

    c.\bf{c.} 1-1                                                                                              \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} -\infty

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    Pour tout réel xx, on a :
    1cos(x)1-1\le \cos \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à :
    1+3xcos(x)+3x1+3x-1+3x\le \cos \left(x\right)+3x\le 1+3x
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} limx1+3x=\lim\limits_{x\to -\infty } -1+3x=-\infty
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} limx1+3x=\lim\limits_{x\to -\infty } 1+3x=-\infty
    Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
    On va garder l'inégalité de droite, ce qui donne : cos(x)+3x1+3x\cos \left(x\right)+3x \le 1+3x
    Comme limx1+3x=\lim\limits_{x\to -\infty } 1+3x=-\infty et cos(x)+3x1+3x\cos \left(x\right)+3x \le 1+3x alors d'après le théorème de comparaison
    limxcos(x)+3x=\lim\limits_{x\to -\infty } \cos \left(x\right)+3x=-\infty

    Question 8

    limx1x>15x21x2=\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array} }\frac{5x-2}{1-x^{2}}=
    a.\bf{a.} 55                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ++\infty

    c.\bf{c.} 22                                                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} -\infty

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    limx1+5x2=3limx1+1x2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 1^{+} } 5x-2} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to 1^{+} } 1-x^{2}} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\} par quotient limx1x>15x21x2=\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array} }\frac{5x-2}{1-x^{2}} =-\infty .
    Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=1x=1.
    On peut expliquer le fait que limx01x2=0\lim\limits_{x\to 0^{-} } 1-x^{2}=0^{-} de la manière suivante :
    Nous avons dressé le signe de la fonction x1x2x\mapsto 1-x^{2} ci dessous :
    x1+x\to 1^{+} signifie que xx tend vers 11 mais avec x>1x>1, donc lorsque x>1x>1 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie négative. C'est pour cela que limx1+1x2=0\lim\limits_{x\to 1^{+} } 1-x^{2}=0^{-} .
    Nombre0=\frac{{\text Nombre}}{0} =\infty . Ici on a le numérateur 5x25x-2 tend vers 33 donc positif et le dénominateur 1x21-x^{2} s'approche de 00 de manière négative.
    Le numérateur est positif et le dénominateur est négatif donc le quotient tend vers -\infty .
    Question 9

    limx(4x25x)5=\lim\limits_{x\to -\infty } \left(\frac{-4x^{2}-5}{x}\right)^{5} =
    a.\bf{a.} -\infty                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 4-4

    c.\bf{c.} ++\infty                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 5-5

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
    Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
    On commence par calculer limx4x25x\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{-4x^{2}-5}{x}.
    Ainsi : limx4x25x=limx(4x2x5x)=limx(4x5x)=+\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{-4x^{2}-5}{x}=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\left(-\frac{4x^{2}}{x} -\frac{5}{x}\right) =\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\left(-4x -\frac{5}{x}\right)={\color{blue}+\infty}

    On pose X=4x25xX=\frac{-4x^{2}-5}{x}. Lorsque xx tend vers {\color{red}-\infty } alors XX tend vers +{\color{blue}+\infty }.

    Or : limX+X5=+\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty}} X^{5} ={\color{green}+\infty}
    Par composition :
    limx(4x25x)5=+ \lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } } \left(\frac{-4x^{2}-5}{x}\right)^{5} ={\color{green}+\infty}

    Question 10

    limx+5x52ln(x)+3exx6x5+3ln(x)7ex={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} }=
    a.\bf{a.} 37-\frac{3}{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} -\infty

    c.\bf{c.} ++\infty                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 56\frac{5}{6}

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
      Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • Pour tout entier naturel nn non nul, on a :limx+xnex=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^n}{ e^{x}} =0
  • limx+ln(x)ex=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln\left(x\right)}{e^{x}} =0
  • limx+5x52ln(x)+3exx6x5+3ln(x)7ex=limx+ex(5x52ln(x)+3exxex)ex(6x5+3ln(x)7exex){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} } ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} \left(\frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} }{e^{x} } \right)}
    limx+5x52ln(x)+3exx6x5+3ln(x)7ex=limx+ex(5x5ex2ln(x)ex+3exexxex)ex(6x5ex+3ln(x)ex7exex){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} } ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} \left(\frac{5x^{5} }{e^{x} } -\frac{2\ln \left(x\right)}{e^{x} } +\frac{3e^{x} }{e^{x} } -\frac{\sqrt{x} }{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{6x^{5} }{e^{x} } +\frac{3\ln \left(x\right)}{e^{x} } -\frac{7e^{x} }{e^{x} } \right)}
    limx+5x52ln(x)+3exx6x5+3ln(x)7ex=limx+(5x5ex2ln(x)ex+3xex)(6x5ex+3ln(x)ex7){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} } ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\frac{5x^{5} }{e^{x} } -\frac{2\ln \left(x\right)}{e^{x} } +3-\frac{\sqrt{x} }{e^{x} } \right)}{\left(\frac{6x^{5} }{e^{x} } +\frac{3\ln \left(x\right)}{e^{x} } -7\right)}
    limx+5x5ex2ln(x)ex+3xex=3limx+6x5ex+3ln(x)ex7=7}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x^{5} }{e^{x} } -\frac{2\ln \left(x\right)}{e^{x} } +3-\frac{\sqrt{x} }{e^{x} } } & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6x^{5} }{e^{x} } +\frac{3\ln \left(x\right)}{e^{x} } -7 } & {=} & {-7} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
    limx+(5x52ln(x)+3exxex)(6x5+3ln(x)7exex)=37{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{ \left(\frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{e^{x} } \right)}{ \left(\frac{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} }{e^{x} } \right)} =-\frac{3}{7}

    Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
    limx+5x52ln(x)+3exx6x5+3ln(x)7ex=37{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{5} -2\ln \left(x\right)+3e^{x} -\sqrt{x} }{6x^{5} +3\ln \left(x\right)-7e^{x} }=-\frac{3}{7}

    Question 11

    limx01e3x7x={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{1-e^{3x} }{7x}=
    a.\bf{a.} 97-\frac{9}{7}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 17\frac{1}{7}

    c.\bf{c.} 37\frac{3}{7}                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 37-\frac{3}{7}

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
  • limx0ex1x=1{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{e^{x} -1}{x} =1
  • Soit aa un réel non nul : limx0eax1ax=a{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{e^{ax} -1}{ax} =a
  • limx01e3x7x=limx0[(1e3x3x)×37]{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{1-e^{3x} }{7x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \left[\left(\frac{1-e^{3x} }{3x} \right)\times \frac{3}{7} \right]
    limx01e3x7x=limx0[(e3x13x)×37]{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{1-e^{3x} }{7x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \left[-\left(\frac{e^{3x} -1}{3x} \right)\times \frac{3}{7} \right]
    limx0e3x13x=3{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \frac{e^{3x} -1}{3x} =3
    limx0[(e3x13x)×37]=3×(37){\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \left[-\left(\frac{e^{3x} -1}{3x} \right)\times \frac{3}{7} \right]=3\times \left(-\frac{3}{7} \right)
    Ainsi :
    limx0[(e3x13x)×37]=97{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}} \left[-\left(\frac{e^{3x} -1}{3x} \right)\times \frac{3}{7} \right]=-\frac{9}{7}