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QCM Bilan Numéro 1 - Exercice 1

20 min
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Question 1
Pour chacune des affirmations ci-dessous, précisez si elle est vraie ou fausse. Il faudra bien entendu justifier votre choix!

Si pour tout réel x>0x>0, on a : f(x)≤2xf\left(x\right)\le \frac{2}{x} alors lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0

Correction
L’affirmation est FAUSSE\red{\text{L'affirmation est FAUSSE}}
Nous choisissons, par exemple, la fonction f(x)=−1x−2f\left(x\right)=\frac{-1}{x}-2. Or, pour tout réel x>0x>0, on a : f(x)≤2xf\left(x\right)\le \frac{2}{x} . En effet, 2x>0\frac{2}{x}>0 et −1x−2<0\frac{-1}{x}-2<0
Or lim⁡x→+∞f(x)=−2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=-2
Question 2

Si pour tout réel x>0x>0, on a : −2x+3≤f(x)≤2x+3\frac{-2}{x}+3\le f\left(x\right)\le \frac{2}{x}+3 alors lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3

Correction
L’affirmation est VRAIE\red{\text{L'affirmation est VRAIE}}
Nous allons appliquer le théorème des gendarmes.
  • D’une part :\purple{\text{D'une part :}} lim⁡x→+∞−2x+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-2}{x}+3=3
  • D’autre part :\purple{\text{D'autre part :}} lim⁡x→+∞2x+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}+3=3
    • D'après le théorème des gendarmes : lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3
    Question 3

    Si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors lim⁡x→+∞f(x)g(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1

    Correction
    L’affirmation est FAUSSE\red{\text{L'affirmation est FAUSSE}}
    Nous choisissons les fonctions f(x)=xf\left(x\right)=x et g(x)=x2g\left(x\right)=x^{2}.
    On a bien lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
    Or : lim⁡x→+∞xx2=lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0
    Question 4

    Si lim⁡x→+∞f(x)g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0 alors lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0

    Correction
    L’affirmation est FAUSSE\red{\text{L'affirmation est FAUSSE}}
    Nous choisissons les fonctions f(x)=1f\left(x\right)=1 et g(x)=x+2g\left(x\right)=x+2.
    On a bien lim⁡x→+∞f(x)g(x)=lim⁡x→+∞1x+2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x+2}=0 et lim⁡x→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=1.
    Question 5

    Si pour tout réel x>1x>1 : g(x)−f(x)≤0g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0 et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty

    Correction
    L’affirmation est VRAIE\red{\text{L'affirmation est VRAIE}}
    Comme g(x)−f(x)≤0g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0 alors g(x)≤f(x)g\left(x\right)\le f\left(x\right) et comme lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors d'après le théorème de comparaison on a bien : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
    Question 6

    Si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0 alors lim⁡x→+∞f(x)×g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =0

    Correction
    L’affirmation est FAUSSE\red{\text{L'affirmation est FAUSSE}}
    Nous choisissons les fonctions f(x)=xf\left(x\right)=x et g(x)=1xg\left(x\right)=\frac{1}{x}.
    On a bien :
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0 mais lim⁡x→+∞f(x)×g(x)=lim⁡x→+∞x×1x=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty } x\times \frac{1}{x}=1

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