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Limites et fonctions composées - Exercice 2

10 min
20
Limites et composées
Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→+∞49+9x\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{49+\frac{9}{x} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞49+9x\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }49+\frac{9}{x} . Ainsi : lim⁡x→+∞16+9x=49\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } 16+\frac{9}{x} ={\color{blue}49}
On pose X=49+9xX=49+\frac{9}{x}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty} alors XX tend vers 49{\color{blue}49}.
Or : lim⁡X→49X=49=7\lim\limits_{X\to {\color{blue}49}} \sqrt{X }=\sqrt{49}={\color{green}7}
Par composition :
lim⁡x→+∞49+9x=7\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}} \sqrt{49+\frac{9}{x} }={\color{green}7}
Question 2

lim⁡x→+∞6x+53x+2\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{\frac{6x+5}{3x+2} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞6x+53x+2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}}\frac{6x+5}{3x+2} .
Ainsi : lim⁡x→+∞6x+53x+2=lim⁡x→+∞6x3x=lim⁡x→+∞63=2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6x+5}{3x+2} =\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6x}{3x}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6}{3}={\color{blue}2}
Donc : lim⁡x→+∞6x+53x+2=2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6x+5}{3x+2} ={\color{blue}2}
On pose X=6x+53x+2X=\frac{6x+5}{3x+2}. Lorsque xx tend vers +∞ {\color{red}+\infty} alors XX tend vers 2{\color{blue}2}.
Or : lim⁡X→2X=2\lim\limits_{X\to {\color{blue}2}} \sqrt{X }={\color{green}\sqrt{2}}
Par composition :
lim⁡x→+∞6x+53x+2=2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } \sqrt{\frac{6x+5}{3x+2} } ={\color{green}\sqrt{2}}
Question 3

lim⁡x→+∞sin⁡(52x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \sin \left(\frac{5}{2x+1} \right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞52x+1\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{5}{2x+1} .
Ainsi : lim⁡x→+∞52x+1=0\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{5}{2x+1}={\color{blue}0}

On pose X=52x+1X=\frac{5}{2x+1}. Lorsque xx tend vers +∞ {\color{red}+\infty} alors XX tend vers 0{\color{blue}0}.

Or : lim⁡X→0sin⁡X=sin⁡0=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} \sin{X }=\sin{0}={\color{green}0}

Par composition :
lim⁡x→+∞sin⁡(52x+1)=0 \lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } \sin \left(\frac{5}{2x+1} \right) ={\color{green}0}
Question 4

lim⁡x→+∞cos⁡(2πx−76x+4)\lim\limits_{x\to +\infty } \cos \left(\frac{2\pi x-7}{6x+4} \right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞2πx−76x+4\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4} .
Ainsi : lim⁡x→+∞2πx−76x+4=lim⁡x→+∞2πx6x=lim⁡x→+∞2π6=π3\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x}{6x}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi}{6}={\color{blue}\frac{\pi}{3}}
Donc : lim⁡x→+∞2πx−76x+4=π3\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4} ={\color{blue}\frac{\pi}{3}}
On pose X=2πx−76x+4X=\frac{2\pi x-7}{6x+4}. Lorsque xx tend vers +∞ {\color{red}+\infty} alors XX tend vers π3{\color{blue}\frac{\pi}{3}}.
Or : lim⁡X→π3cos⁡X=cos⁡π3=12\lim\limits_{X\to {\color{blue}\frac{\pi}{3}}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{3} }={\color{green}\frac{1}{2}}
Par composition :
lim⁡x→+∞cos⁡(2πx−76x+4)=12 \lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } \cos \left(\frac{2\pi x-7}{6x+4} \right) ={\color{green}\frac{1}{2}}

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