Limites et fonctions composées - Exercice 1

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }36+\frac{4}{x}$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } 36+\frac{4}{x} ={\color{blue}36}$$
On pose $$X=36+\frac{4}{x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}36}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}36}} \sqrt{X }=\sqrt{36}={\color{green}6}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4x+1}{x+6}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4x}{x} =\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4}{1}= {\color{blue}4}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6} ={\color{blue}4}$$
On pose $$X=\frac{4x+1}{x+6}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}4}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}4}} \sqrt{X }=\sqrt{4}={\color{green}2}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1}={\color{blue}0}$$

On pose $$X=\frac{1}{x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} \sin{X }=\sin{0}={\color{green}0}$$

Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{\pi x-3}{2x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x}{2x}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi }{2}={\color{blue}\frac{\pi}{2}}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1} ={\color{blue}\frac{\pi}{2}}$$
On pose $$X=\frac{\pi x-3}{2x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}\frac{\pi}{2}}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}\frac{\pi}{2}}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{2} }={\color{green}0}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1={\color{blue}-\infty}$$

On pose $$X=-x^{2} +1$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}-\infty }$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty}} X^{7} ={\color{green}-\infty}$$

Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2}={\color{blue}0^{+}}$$
On pose $$X=\left(x-3\right)^{2}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}3^{+}}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0^{+}}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0^{+}}} \frac{2}{X} ={\color{green}+\infty }$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }2-3x$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } } 2-3x ={\color{blue}+\infty}$$
On pose $$X=2-3x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}+\infty}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty} } \sqrt{X }={\color{green}+\infty}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} }{4x^{2} }=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} }{4x^{2} }=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36 }{4} ={\color{blue}9}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} ={\color{blue}9}$$ .
On pose $$X=\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}9}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}9}} \sqrt{X }=\sqrt{9}={\color{green}3}$$
Par composition :