Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 4

Nous allons commencer par calculer la limite du numérateur .
$$\red{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+1=-\infty$$.
On pose $$X=-2x+1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to -\infty } 4e^{X} =0$$.
Par composition :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4e^{-2x+1}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x^{2} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, on rencontre ici une forme indéterminée.
Ici, pour pouvoir calculer la limite, nous allons faire apparaitre un produit.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4e^{-2x+1} }{3x^{2} } =\lim\limits_{x\to +\infty }4e^{-2x+1} \times \frac{1}{3x^{2} }$$ . Il en résulte donc que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4e^{-2x+1}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{3x^{2} } } & {=} & {0 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}$$
Finalement : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4e^{-2x+1} }{3x^{2} } =0$$