x→+∞lime2x+3exx→+∞lim3e2x+9==+∞+∞} On rencontre ici une forme indéterminée
∞∞Pour relever cette indétermination, factorisons par
e2x au numérateur et au dénominateur.
x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=x→+∞lime2x(e2x3e2x+9)e2x(e2xe2x+3ex)x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=x→+∞lim(e2x3e2x+9)(e2xe2x+3ex)x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=x→+∞lime2x3e2x+e2x9e2xe2x+e2x3ex x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=x→+∞lim3+e2x91+ex×ex3ex x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=x→+∞lim3+e2x91+ex3 Il vient alors que :
x→+∞lim1+ex3x→+∞lim3+e2x9==13}par quotient :x→+∞lim3+e2x91+ex3=31Finalement :x→+∞lim3e2x+9e2x+3ex=31 Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation
y=31 au voisinage de
+∞.