Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée avec des quotients de polynômes - Exercice 3

5 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→−∞6x+94x+7\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7}

Correction
lim⁡x→−∞6x+9=−∞lim⁡x→−∞4x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x+9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞6x+94x+7=lim⁡x→−∞6x4x=lim⁡x→−∞64=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x}{4x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6}{4}=\frac{3}{2}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x+94x+7=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\frac{3}{2}

Question 2

lim⁡x→+∞5x−110x2+3x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x}

Correction
lim⁡x→+∞5x−1=+∞lim⁡x→+∞10x2+3x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 10x^{2} +3x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=lim⁡x→+∞5x10x2=lim⁡x→+∞510x=lim⁡x→+∞12x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x}{10x^{2} }=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5}{10x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{2x}=0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5}

Correction
lim⁡x→−∞8x2−7x=+∞lim⁡x→−∞4x+5=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 8x^{2}-7x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=lim⁡x→−∞8x24x=lim⁡x→−∞8x4=lim⁡x→−∞2x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}}{4x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x}{4}=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2}+3x+6}

Correction
lim⁡x→+∞11x2+5=+∞lim⁡x→+∞9x2+3x+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 11x^{2}+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 9x^{2} +3x+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=lim⁡x→+∞11x29x2=lim⁡x→+∞119=119\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2}+3x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}}{9x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11}{9}=\frac{11}{9}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=119\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\frac{11}{9}

Question 5

lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8}

Correction
lim⁡x→−∞12x3+6x=−∞lim⁡x→−∞4x4+16x3+8=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 12x^{3}+6x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x^{4}+16x^{3}+8} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=lim⁡x→−∞12x34x4=lim⁡x→−∞124x=lim⁡x→−∞3x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}}{4x^{4}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12}{4x} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x}=0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .