Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée avec des quotients de polynômes - Exercice 2

5 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

limx5x+2x+7\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7}

Correction
limx5x+2=limxx+7=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx5x+2x+7=limx5xx=limx51=5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x}{x} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5}{1}=5
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx5x+2x+7=5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =5

Question 2

limx+3x62x2+4x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x}

Correction
limx+3x6=+limx+2x2+4x=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx+3x62x2+4x=limx+3x2x2=limx+32x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x}{2x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{2x}=0
On rappelle que : Nombre=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

limx6x24x2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3}

Correction
limx6x24x=+limx2x+3=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{2}-4x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx6x24x2x+3=limx6x22x=limx6x2=limx3x=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}}{2x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x}{2}= \lim\limits_{x\to -\infty } 3x=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx6x24x2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =-\infty
Question 4

limx+4x2+95x2+8x+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2}+8x+2}

Correction
limx+4x2+9=+limx+5x2+8x+2=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+9} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +8x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx+4x2+95x2+8x+2=limx+4x25x2=limx+45=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2}+8x+2}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}}{5x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{5}= \frac{4}{5}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx+4x2+95x2+8x+2=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\frac{4}{5}

Question 5

limx7x3+3xx4+6x3+6\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{x^{4}+6x^{3}+6}

Correction
limx7x3+3x=limxx4+6x3+6=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7x^{3}+3x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+6x^{3}+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de ++\infty et de -\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
limx7x3+3xx4+6x3+6=limx7x3x4=limx7x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}}{x^{4}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7}{x}=0
On rappelle que : Nombre=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .