Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée avec des fonctions polynomiales - Exercice 3

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Question 1

lim⁡x→−∞−x2−2x+2\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2

Correction
lim⁡x→−∞−x2=−∞lim⁡x→−∞−2x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=lim⁡x→−∞−x2=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=-\infty
Question 2

lim⁡x→+∞6x3−5x−3\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3

Correction
lim⁡x→+∞6x3=+∞lim⁡x→+∞−5x−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=lim⁡x→+∞6x3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3}=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞−10x2+5x+1\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1

Correction
lim⁡x→+∞−10x2=−∞lim⁡x→+∞5x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=lim⁡x→+∞−10x2=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=-\infty

Question 4

lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7

Correction
lim⁡x→+∞8x3+3x2=+∞lim⁡x→+∞−5x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=lim⁡x→+∞8x3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7=\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} =+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7 =+\infty

Question 5

lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1

Correction
lim⁡x→−∞6x4+7x3=+∞lim⁡x→−∞−4x2−1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -4x^{2}-1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=lim⁡x→−∞6x4=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=+\infty