Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée avec des fonctions polynomiales - Exercice 2

5 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→−∞−3x2−4x+1\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1

Correction
lim⁡x→−∞−3x2=−∞lim⁡x→−∞−4x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -4x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=lim⁡x→−∞−3x2=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=-\infty
Question 2

lim⁡x→+∞5x3−3x−4\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4

Correction
lim⁡x→+∞5x3=+∞lim⁡x→+∞−3x−4=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x-4} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=lim⁡x→+∞5x3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3}=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞−x2+7x+2\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2

Correction
lim⁡x→+∞−x2=−∞lim⁡x→+∞7x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 7x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=lim⁡x→+∞−x2=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} =-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=-\infty

Question 4

lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9

Correction
lim⁡x→+∞2x3+8x2=+∞lim⁡x→+∞−6x+9=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -6x+9} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=lim⁡x→+∞2x3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9=\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} =+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9 =+\infty

Question 5

lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5

Correction
lim⁡x→−∞x4+2x3=+∞lim⁡x→−∞−3x2−5=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2}-5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=lim⁡x→−∞x4=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=+\infty