Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée avec des fonctions polynomiales - Exercice 1

5 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→−∞2x2+2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3

Correction
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞2x+3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=lim⁡x→−∞2x2=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2x^{2} +2x+3={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2x^{2} =+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞4x3−x+2\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2

Correction
lim⁡x→+∞4x3=+∞lim⁡x→+∞−x+2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞4x3−x+2=lim⁡x→+∞4x3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 4x^{3} =+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x3−x+2=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞4x2−5x+1\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1

Correction
lim⁡x→+∞4x2=+∞lim⁡x→+∞−5x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=lim⁡x→+∞4x2=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} =+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=+\infty

Question 4

lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7

Correction
lim⁡x→+∞−x3−x2=−∞lim⁡x→+∞2x−7=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=lim⁡x→+∞−x3=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7 =-\infty

Question 5

lim⁡x→−∞2x4−x2+2\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2

Correction
lim⁡x→−∞2x4=+∞lim⁡x→−∞−x2+2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Ce qui nous donne :
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=lim⁡x→−∞2x4=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4}=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2 =+\infty