Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale

Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 2

8 min
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Question 1
Déterminer les limites suivantes :

lim⁡x→+∞1x+5−x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }

Correction
lim⁡x→+∞x+5=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
  • Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b\sqrt{a} -\sqrt{b} , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué a+b\sqrt{a} +\sqrt{b} afin d'obtenir une forme a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} } .
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x(x+5−x)(x+5+x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x+5} +\sqrt{x} \right)} . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2} .
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x(x+5)2−(x)2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} \right)^{2} -\left(\sqrt{x} \right)^{2} }
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x5\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5}
Or : lim⁡x→+∞x+5=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} =+\infty et lim⁡x→+∞x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} =+\infty , ainsi : lim⁡x→+∞x+5+x5=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5} =+\infty
Finalement :
lim⁡x→+∞1x+5−x=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }=+\infty

Question 2

lim⁡x→+∞x2+2−x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x

Correction
lim⁡x→+∞x2+2=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
  • Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b\sqrt{a} -b , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué a+b\sqrt{a} +b afin d'obtenir une forme a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a} -b =\frac{\left(\sqrt{a} -b \right)\left(\sqrt{a} +b \right)}{\sqrt{a} +b } .
lim⁡x→+∞x2+2−x=lim⁡x→+∞(x2+2−x)(x2+2+x)(x2+2+x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} -x\right)\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}{\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)} . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2} .
lim⁡x→+∞x2+2−x=lim⁡x→+∞(x2+2)2−x2x2+2+x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} -x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}
lim⁡x→+∞x2+2−x=lim⁡x→+∞x2+2−x2x2+2+x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} +2-x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}
lim⁡x→+∞x2+2−x=lim⁡x→+∞2x2+2+x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}
lim⁡x→+∞2=2lim⁡x→+∞x2+2+x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^{2} +2}+x } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡x→+∞2x2+2+x=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}=0

Finalement : lim⁡x→+∞x2+2−x=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x=0